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Coroa Traseira (Rear Sprocket)

Para dimensionar um coroa (Sprocket) precisamos conhecer os seguintes dados (Usando uma coroa traseira da Teneré 250 como exemplo):

Dados extraídos da coroa teneré 250:

Passo:
$P = 15.875 mm$

Número de dentes:
$N = 40$

Diâmetro do rolo da corrente:
$Dr = 10.16mm$

Dados teóricos e calculados

Módulo:
$m = P/\pi$

Diâmetro circular de referência (diâmetro primitivo):
$Dp = m \cdot N$ $\to$ D_p = (15.875/PI)*40 (Obs: O Autodesk Inventor só aceita “PI” maiúsculo)

Ver desenho Cad da coroa traseira:

$Dp$ : diâmetro primitivo (circunferência de base)
$N$ : número de dentes🌍
$P$ : passo da corrente (ae) (Obs: O passo da coroa é igual ao passo da corrente)

Figura 1 Forma teórica do dente (ABNT NBR1642- 2016/ASME B291 – 2011)

Diâmetro externo aproximado da roda dentada ( $J = 0.3 \cdot P$ $\to$ J = 0.3*15.875):

$De \thickapprox P(0.6 + cot(180/N))$ $\to$ D_e $\thickapprox$ 15.875*(0.6 + 1/tan(180/40))

Diâmetro externo da roda dentada quando o dente é pontiagudo:
$Dep =P cot(180/N)+cos(cos180/N)(Ds-Dr)+2H$ $\to$ D_ep = 15.8751/(tan(180/40))+cos(180/40)*((1.005*10.16 + 0.003)-10.16)+2*(sqrt((10.16*(0.8cos(18-56/40)+1.4*cos(17-64/40)-1.3025)-0.0015)^2-(1.4*10.16-15.875/2)^2))

Diâmetro da curva de assentamento
$Ds = 1.005Dr + 0.003$ $\to$ $D_s$ = 1.005*10.16 + 0.003

Adendo circular:
$H_t = J - (ma - mq)$ = P*(0.3 – (tan(90/N_a)/2))

$WD$ = Profundidade total do corte com fresa Topping

$WD = Dr/2 + Ht$ = D_r/2 + P*(0.3 – tan*(tan(90/N_a)/2))

$Na$ = Número Intermediário de dentes para faixa de Topping Hob

NOTAS GERAIS:
(a) Os Ângulos são calculados da seguinte forma:
$A = 35+60/N$ $\to$ A = 35+60/40
$B = 18-56/N$ $\to$ B = 18-56/40

Ângulo de pressão para uma corrente nova:
$Xab = 35 - 120/N$

Ângulo de pressão mínimo:
$Xab - B = 17 - 64/N$

O ângulo de pressão médio: $26 - 92/N$

b) Dimensões dimensões são calculadas da seguinte forma:
$ab = 1.4 Dr$

$ac = 0.8 Dr$

$E = 1.3025 Dr + 0.0015$ $\to$ E = 1.3025*10.16+0.0015

$F = Dr(0.8 cos(18-56/N)+1.4 cos(17-64/N)-1.3025)-0.0015$ $\to$ F = 10.16*(0.8*cos(18-56/40)+1.4*cos(17-64/40)-1.3025)-0.0015

$H = sqrt(F^2-(1.4 Dr-P/2)^2)$ $\to$ H = sqrt((10,16*(0,8cos(18-56/19) +1,4*cos(17-64/19)-1,3025)-0,0015)^2-(1,4*10,16- 15,875/2)^2)

$M = 0.8 Dr cos(35+60/N)$ $\to$ M = 0.8*10.16*cos(35+60/40)

$R = Ds/2 = 0.5025Dr+0,0015$ $\to$ R = 0.5025*10.16+0,0015

$S = P/2 cos(180/N)+H sin(180/N)$ $\to$ S = 15.875/2*cos(180/40)+sqrt((10.16*(0.8*cos(18-56/40)+1.4*cos(17-64/40)-1.3025)-0.0015)^2-(1.4*10.16-15.875/2)^2)*sin(180/40)

$T = T= 0.8 Dr sin(35+60/N)$ $\to$ T = 0.8*10.16*sin(35+60/40)

$V =1.4 Dr sin(180/N)$ $\to$ V = 1.4*10.16*sin(180/40)

$W =1.4 Dr cos(180/N)$ $\to$ W = $1.4*10.16*cos(180/40)$

Comprimento do arco da corda:
xy = (2.605 Dr+0.003)sin(9-28/N) $\to$ xy = (2.605*10.16+0.003)*sin(9-28/40)
yz = Dr(1.4 sin(17-64/N)-0.8(18-56/N)) $\to$ yz=10.16*(1.4*sin(17-64/140)-0.8*sin(18-56/40))

REFERÊNCIAS UTILIZADAS:

ASME B29.1-2011: Precision Power Transmission Roller Chains, Attachments, and Sprockets [Paperback] The American Society of Mechanical Engineers

NBR16427 2016: Correntes, coroas e pinhões de motocicletas, motonetas, ciclomotores, triciclos e quadriciclos – Dimensões e métodos de ensaio

Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma abordagem integrada / Robert L. Norton – 4. ed. – Porto Alegre : Bookman, 2013.

24 de agosto de 2025
Dutos e Flanges
Considere um fluido incompressível, de massa específica $\rho$ , que escoa em regime permanente com velocidade uniforme $v$ em um trecho de duto consistindo de uma curva a 90º, no plano horizontal, tendo uma extremidade rigidamente flangeada e outra acoplada a uma junta de expansão (veja Figura 2). Deseja-se determinar os esforços presentes no flange, admitindo desconsideráveis os esforços na junta de expansão e o peso do fluido em face das outras forças envolvidas.

Figura 1

Escoamento em um duto com curva de 90°

Agora vamos fazer uma análise de um fluido incompressível escoando em regime permanente através de duto com uma curva de 90°, considerando efeitos hidrodinâmicos, térmicos e estruturais. O sistema consiste em um duto horizontal com flange rígido na entrada e junta de expansão na saída.

Figura 2

1. Definição do Problema
- Fluido incompressível: Massa específica $\rho$ =constante em regime isotérmico.
- Regime permanente: As propriedades do escoamento não variam no tempo.
- Velocidade uniforme $v$ : A velocidade é a mesma na entrada e na saída (assumindo área transversal constante).
- Plano horizontal: Forças gravitacionais são desprezíveis.
- Junta de expansão: Não transmite esforços (livre para se mover).
- Flange rígido: Transmite todos os esforços para a estrutura.
2. Equações

2.1. Conservação da Massa:

(1) $\begin{equation*}\int \rho \vec{v} d \vec{A} = \rho A (\vec{v_e} - \vec{v_s}) = 0\end{equation*}$

2.2. Conservação da Quantidade de Movimento Linear:

A equação integral da conservação da quantidade de movimento para um volume de controle (VC) fixo é:

(2) $\begin{equation*}\sum \vec{F} = \int_{VC} \rho \vec{v} (\vec{v} \cdot \vec{n}) d \vec{A} = \dot{m}(\vec{v_e} - \vec{v_s})\end{equation*}$

Onde:

$\sum \vec{F}$ : Forças externas atuando no $VC$ (pressão e reação no flange).
$\vec{F}$ : Vetor velocidade.
$\vec{n}$ : Vetor normal à superfície de controle (apontando para fora).
$\dot{m}=\rho v A$ : Vazão mássica
$\vec{v_e} = v_e \hat{i}$ e $\vec{v_s} = v_s \hat{j}$ : Velocidades na entrada e saída.

A força exercida pelo fluido no duto (ação) é:

$\vec{R}_{flange} = \dot{m}(\vec{v_e} - \vec{v_s}) + (p_e A \hat{i} + p_s A \hat{j})$

Se $p_e=p_s=p$ e $v_e = v_s = v$

$\vec{R}_{flange} = \rho v A(v\hat{i} - v\hat{j}) + (pA \hat{i} + pA \hat{j})$

$\vec{R}_{flange} = \rho v^2 A(\hat{i} - \hat{j}) + pA(\hat{i} + \hat{j})$

A força resultante no flange é:

$\boxed{\vec{R}_{flange} = - (\rho v^2 + p ) A (\hat{i} + \hat{j})}$

2.3. Caso com Variação de Área ou Velocidade

Se a área da seção transversal mudar ( $A_e \ne A_s$ ), a velocidade também muda ( $v_e A_e=v_s A_s$ ), por continuidade). A equação de Bernoulli pode ser usada para relacionar pressões:

(3) $\begin{equation*}p_e + \frac{1}{2+}\rho {v_e}^2 =p_s + \frac{1}{2+}\rho {v_s}^2 +\Delta_{perdas}\end{equation*}$

Onde $\Delta p_{perdas}$ são perdas por atrito e turbulência.

Forças resultantes atualizadas:

$R_x = \rho {v_e}^2 A_e −p_e A_e$

$R_y=\rho {v_s}^2 A_s −p_s A_s$

Aplicação Prática: Dimensionamento do Flange
Para garantir a resistência do flange, um engenheiro deve considerar:

Força estática máxima:

$R_{max} = \rho v^2 A + p A$ (considerando pressão e velocidade máximas operacionais).

1. Fator de segurança: Multiplicar $R_{max}$ por um coeficiente.
2. Material e parafusos: O flange deve ser fabricado com material resistente (aço carbono, aço inox) e os parafusos devem ser dimensionados para suportar a carga.
3. Vibrações e fadiga: Se o escoamento for pulsante, deve-se avaliar efeitos dinâmicos.

3. Conservação do Momento Angular

3.1. Momento Torsor (Torque) no Flange

Além da força resultante, a curva pode induzir um momento torsor no flange devido à distribuição assimétrica de pressões e velocidades.

A equação integral para o momento angular é:

(4) $\begin{equation*}\sum \vec{M}_{ext} = \int \rho (\vec{r} \times\vec{v})(\vec{v}\cdot d \vec{A})\end{equation*}$
- Para uma curva simétrica e flange rígido:
Como o escoamento é simétrico e o flange está rigidamente fixado, o torque líquido no flange é zero em condições ideais. Porém, em situações reais (escoamento turbulento, assimetrias), pode haver um pequeno torque residual.

Entrada: Momento angular $-\rhorv^2A \hat{k}$ .
Saída: Momento angular $+\rho r v^2 A \hat{k}$ .

Assim:

(5) $\begin{equation*}\sum \vec{M}_ext = \int \rho (\vec{r} \times\vec{v})(\vec{v}\cdot d \vec{A} = 0\end{equation*}$

$\boxed{\vec{T} = 0}$
- Com assimetria (ex.: junta excêntrica em z):
O torque $\vec{T}$ em relação ao centro da curva é dado por:

(6) $\begin{equation*}\vec{T} = \vec{r_e}\vec{F_e} \times \vec{r_s}\vec{F_s}\end{equation*}$

Onde:

$\vec{r_e}$ e $\vec{r_e}$ são vetores posição dos pontos de aplicação das forças.
$\vec{F_s}$ e $\vec{F_s}$ são as forças de pressão e quantidade de movimento nas seções de entrada e saída.

Torque no flange:

$\boxed{\vec{T}= - (\rho v^2 + p) r A \hat{k}}$

onde $r$ é a distância do centro de curvatura ao ponto de aplicação da força.

4. Ajustes para Cenários Reais

Perdas por Atrito e Queda de Pressão

Em sistemas reais, o atrito entre o fluido e as paredes do duto causa perdas de energia, levando a uma queda de pressão (\Delta p). Isso pode ser modelado pela equação de Darcy-Weisbach ou por correlações empíricas.

Equação de Darcy-Weisbach:

(7) $\begin{equation*} \Delta p = f \frac{L}{D} \frac{\rho v^2}{2} \end{equation*}$

Onde:

$f$ : Fator de atrito (depende do regime de escoamento e rugosidade da parede).
$L$ : Comprimento da curva ou trecho analisado.
$D$ : Diâmetro hidráulico do duto.

Impacto no modelo:

A pressão na saída ( $p_s$ ) será menor que na entrada ( $p_e$ ):

$p_s = p_e - \Delta p$

A força resultante no flange deve incluir essa diferença:

$\boxed{\vec{F}_{flange} = -[(\rho v^2+p_e)A \hat{i} +(\rho v^2+p_s)A \hat{j}]}$

Distribuição Não Uniforme de Pressão

Em curvas reais, a pressão não é constante ao longo da seção transversal devido a efeitos centrífugos:

Parede externa: Pressão mais alta.
Parede interna: Pressão mais baixa (efeito de sucção).

Modelo para Pressão Assimétrica:
A pressão pode ser aproximada por uma distribuição parabólica:

(8) $\begin{equation*} p (\theta)=p_{avg} + \Delta p_{max} cos (2 \theta) \end{equation*}$

Onde:

$\theta$ : Ângulo ao longo da curva (0° a 90°).

$\Delta p_{max}$ : Diferença máxima de pressão (empiricamente determinada).

A força de pressão agora requer uma integração angular:

(9) $\begin{equation*}\vec{F}_p=\int_{0}^{\pi/2} p (\theta) \cdot \vec{n} (\theta) r d\theta\end{equation*}$

Isso pode introduzir torques adicionais se a distribuição não for simétrica.

Turbulência e Vórtices

– Escoamentos reais em curvas geram vórtices secundários e turbulência, que:

– Aumentam as perdas de energia.Podem causar vibrações no duto e no flange.

Modelagem via Número de Reynolds ( $Re$ ):
(10) $\begin{equation*} Re=\frac{\rho v D}{\mu} \end{equation*}$

Se $Re> 4000$ escoamento é turbulento, e o fator de atrito $f$ deve ser ajustado (usando, por exemplo, o diagrama de Moody).

Variação de Área ou Velocidade

Se o duto tem áreas diferentes na entrada ( $A_e$ ) e saída ( $A_s$ ), a velocidade muda ( $v_e A_e = v_s A_s$ ), afetando o balanço de momento.
1. Conservação da massa com áreas diferentes:
  
  $v_s= v_e \frac{A_e}{A_s}$
2. Força no flange:
  
  Conservação da massa com áreas diferentes: $v_2 = v_1 \frac{A1}{A2}$
  
  Força resultante atualizada:
  
  (11) $\begin{equation*} \vec{F} = -[(\rho {v_1}^2 + p_1)A_1 \hat{i} + (\rho {v_2}^2 + p_2)A_2 \hat{j}] \end{equation*}$
Efeitos Dinâmicos Transiente

Em cenários como fechamento de válvulas ou partida do sistema, forças adicionais surgem devido a acelerações do fluido.

Equação de Momentum Transiente:

(12) $\begin{equation*} \vec{F}_{inercia} = \rho L A \frac{\vec{F}}{dt} \end{equation*}$

$L$ : Comprimento característico do duto.

$\frac{dv}{dt}$ : Aceleração do fluido.

Variação das Propriedades do Fluido com a Temperatura

Para líquidos (ex.: água, óleo) e gases (ex.: ar, vapor), $\rho$ e $\mu$ dependem da temperatura ( $T$ ):
- Líquidos:
$\rho (T)= \rho_0[1 - \beta(T - T_0)]$ , $\mu(T) \propto e^{-k(T - T_0)}$

( $\beta$ = coeficiente de expansão térmica, $k$ constante empírica).
- Gases (lei dos gases ideais):
(13) $\begin{equation*} \rho(T)=\frac{p}{RT} \end{equation*}$

$\mu (T) \propto T^{0.7}$

Dilatação Térmica do Duto

O material do duto (aço, PVC, etc.) expande-se com a temperatura:

(14) $\begin{equation*} \Delta L=\alpha L \Delta T \end{equation*}$

$\alpha$ = coeficiente de dilatação térmica.

Critério de falha:

Tensão térmica:

$\sigma_{termico} = E \alpha \Delta T$

Se $\sigma_{termico} > \sigma_{adm}$ , há risco de trincas ou vazamentos.

Convecção Natural

Número de Grashof:

(15) $\begin{equation*} Gr = \frac{g\beta \Delta T L^3}{\nu} \end{equation*}$

Força e Torque com Efeitos Térmicos

Força no flange:

(16) $\begin{equation*} \vec{F} = -[(\rho(T) v^2 + p(T))A](\hat{i}+ \hat{j)} \end{equation*}$

Torque térmico:

(17) $\begin{equation*} \vec{T}_{termico} = \int r \times (\alpha E \Delta T)dA \end{equation*}$

Recomendações para Projeto

Para escoamento:

Use CFD para simular distribuição de pressão e turbulência.

Adote um fator de segurança de 20-50 % nas forças calculadas.

Para efeitos térmicos:

Materiais com baixo $\alpha$ (ex.: aço inox).

Juntas de expansão termicamente isoladas.

Para transientes:

Amortecedores de pressão para golpes de aríete.

Equações-Chave Resumidas:

Fenômeno Equação

Força no flange $\vec{F} = - (\rho v^2 + p) A (\hat{i} + \hat{j})$

Torque $\vec{T} =- (\rho v^2 + p) r A \hat{k}$

Perda de pressão $\Delta p=f \frac{L}{D} \frac{\rho v^2}{2}$

Dilatação térmica $\Delta L = \alpha L \Delta T$

Tensão térmica $\sigma = E \alpha \Delta T$

Este modelo integrado permite dimensionar sistemas reais com segurança, considerando desde escoamento ideal até efeitos térmicos e estruturais complexos.
20 de junho de 2025
A Estabilidade e o Controle das Motocicletas

R. S. Sharp

Lecturer, Department of Mechanical Engineering, University of Leeds, Leeds, LS2 9fT.}

(The M S . of this paper was received at the Institution on 10th August 1970 and accepted for publication on 17th May 1971. 2)

Resumo: São desenvolvidos modelos matemáticos de uma motocicleta e piloto dependentes de três suposições alternativas sobre o comportamento do pneu. São comparadas características de estabilidade deduzidas delas, e são estabelecidos requisitos mínimos para o modelo maiores do que os que foram satisfeitos anteriormente. Usando o mais sofisticado dos modelos, são calculados os efeitos das mudanças de projeto, e são discutidas as implicações do projeto.

Notação

(A), (B): Matrizes de coeficientes.

$\left. \begin{aligned} a, b, c, d, e \\ h, k, j, k, l \\ R_f, R_r, t \end{aligned} \right\} \quad \text{Dimensões lineares (Fig.1).}$

$C_{f1}, C_{r1}$ : Rigidez de curva dos pneus dianteiro e traseiro, respectivamente.

$C_{f2}, C_{r2}$ : Rigidez de cambagem dos pneus dianteiro e traseiro, respectivamente.

$C_{rxy}$ : Produto da inércia do chassi traseiro em relação aos eixos acima.

$g$ : Aceleração devido à gravidade.

$I_{fx}$ , $I_{fy}$ , $I_{fz}$ : Inércias do chassi dianteiro em relação aos eixos paralelos a $OX_4Y_4 Z_4$ (Fig.2) através do centro de massa (assumidos como eixos principais).

$I_{rx}$ , $I_{ry}$ , $I_{rz}$ : Inércias do chassi traseiro em relação aos eixos paralelos a $OX_2 Y_2 Z_2$ (Fig.2) através do centro de massa.

$i$ Momento polar de inércia do volante do motor.

$i_{fy}$ : Momento polar de inércia da roda dianteira.

$i_{rx} = i_{rz}$ : Inércia de cambagem da roda traseira.

$i_{ry}$ : Momento polar de inércia da roda traseira.

$K$ : Coeficiente do amortecedor de direção.

$M_f$ : Massa do chassi dianteiro.

$M_r$ : Massa do chassi traseiro.

$p_f$ , $q_f$ , $r_f$ : Componentes de velocidade angular do chassi dianteiro em relação aos eixos $OX_4 Y_4 Z_4$ .

$p_r$ , $q_r$ , $r_r$ : Componentes de velocidade angular do chassi traseiro em relação aos eixos $OX_2 Y_2 Z_2$ .

$q$ , $Q$ : Coordenada e força generalizadas, respectivamente.

$Q_{x1}$ , $Q_{x1}$ : Componentes das forças $Q_{x0}$ e $Q_{y0}$ ao longo de $OX_1$ e $OY_1$ respectivamente.

$r$ : Velocidade de guinada ( $= \dot{\psi}$ ).

$T$ : Soma de $T_f$ , $T_r$ e $T_{\omega}$ , sendo a energia cinética total do sistema.

$T_f$ , $T_r$ : Energias cinéticas dos chassis dianteiro e traseiro (excluindo a rotação das rodas) respectivamente.

$T_{\omega}$ : Energia cinética extra contabilizando a rotação das rodas.

$V_f$ , $V_r$ , $V$ : Energias potenciais do chassis dianteiro, chassis traseiro e sistema total respectivamente.

$v$ : Velocidade lateral de 0 ( $= \dot{y}_1$ ).

( $X$ ): Matriz de colunas de amplitudes $X_1$ , $X_2$ , etc.

$\left. \begin{aligned} X_f, Y_f, Z_f \\ X_r, Y_r, Z_r \\ \end{aligned} \right\} \quad \text{Forças aplicadas nos pneus dianteiro e traseiro}\\$

nos pontos de contato com a estrada, respectivamente (Fig. 5).

$X_1$ , $X_2$ : Amplitudes de velocidade lateral e velocidade de guinada, respectivamente.

$x_0$ , $\dot{x}_0$ , $y_0o$ , $\dot{y}_0$ : Coordenadas e velocidades do ponto de referência $A$ no sistema $OX_0 Y_0 Z_0$ .

$x_1$ , $\ddot{x}_1$ , $\dot{y}_1$ , $\ddot{y}_0$ : Velocidades e acelerações do ponto de referência $A$ no sistema $OX_1 Y_1 Z_1$ .

${Y'}_f$ , ${Y'}_r$ : Forças laterais do pneu em estado estacionário.

$\alpha_f$ , $\alpha_f$ : Ângulos de deslizamento dos pneus dianteiro e traseiro, respectivamente.

$\gamma$ : Ângulo de direção efetivo da roda dianteira (Fig. 6).

$\Delta$ : Velocidade de direção ( $= \dot{\delta}$ ).

$\epsilon$ : Ângulo da cabeça de direção (Fig. 1).

$\zeta$ : Velocidade do centro de massa do chassi dianteiro, $G_f$ .

$\eta$ : Velocidade do centro de massa do chassi traseiro, $G_r$ .

$\theta_f$ , $\theta_r$ : Coordenadas da posição angular das rodas dianteiras e traseiras, respectivamente.

$\lambda$ : Relação de marcha entre a roda traseira e o volante do motor.

$\mu$ : Coeficiente exponencial.

$\sigma_f$ , $\sigma_r$ : Comprimentos de relaxamento dos pneus dianteiros e traseiros, respectivamente.

$\tau$ : Torque de direção aplicado pelo piloto.

$\Phi$ : Velocidade de rolamento ( $= \dot{\phi}$ ).

$\phi_f$ : Ângulo de cambagem da roda dianteira (Fig. 6).

$\psi$ , $\phi$ , $\delta$ : Deslocamentos angulares (Fig. 2).

Introdução

Estudos teóricos do comportamento de direção de automóveis após (Segel 1956) transformaram a compreensão do assunto e forneceram informações valiosas de projeto e técnicas de avaliação de projeto. Estudos paralelos relacionados a veículos de duas rodas (Whipple 1899) – (Collins 1964} foram comparativamente mal sucedidos, e o projeto de motocicletas atualmente depende da experiência em vez da compreensão para seu sucesso.

Uma teoria viável de estabilidade e controle de motocicletas deve ser consistente com a instabilidade praticamente óbvia da máquina em velocidades muito baixas, com a possibilidade de controle “sem intervenção” (ou seja, controle sem a aplicação direta do torque de direção) em velocidades moderadas e com a possível ocorrência de instabilidades oscilatórias em altas velocidades. Estas foram descritas por Pearsall (Pearsall 1922} como “oscilação do velocista” (Speedman’s Wobble). Ela também deve fornecer alguma explicação para a prática de design atual, ciente de que deve convergir para algum ótimo evolucionário e, idealmente, deve apoiar as máximas empíricas do design de motocicletas (por exemplo, o centro de massa deve ser o mais baixo possível e o mais à frente possível).

No caso do carro, (Segel 1964) observou que diferentes motoristas empregam diferentes proporções de controle fixo e livre, e que motoristas específicos podem alterar essas proporções para se adequarem ao carro que estão dirigindo. No caso da motocicleta, o comportamento de controle livre parece ser relativamente muito mais importante, uma vez que os ângulos de direção muito pequenos normalmente empregados (Wilson 1951) tornariam o controle fixo difícil, e uma vez que na condição de “mãos livres” as características de controle fixo da máquina não têm relevância para o movimento.

Consequentemente, o trabalho que é o assunto deste artigo foi direcionado para o desenvolvimento de um modelo matemático adequado de uma motocicleta em controle livre, e o uso de tal modelo para mostrar características típicas de estabilidade e como essas características dependem de vários valores de parâmetros. Além disso, à luz da conclusão de Segel\cite{segel1964} de que o gradiente de força de controle em estado estacionário é um parâmetro importante na determinação da qualidade de manuseio do carro, e sua declaração de que este é o caso também com aeronaves, foi estudado o comportamento em estado estacionário. O modelo é facilmente aplicado ao caso de controle fixo e os resultados apropriados são incluídos.

Uma dificuldade particular na análise diz respeito ao tratamento do comportamento do pneu. Whipple (Segel 1964, Pearsall 1922) e (Collins 1964) não permitiram aos pneus nenhuma liberdade de deslizamento lateral, enquanto Kondo, Nagaoka e Yoshimura (Kondo 1963) permitiram essa liberdade, mas ignoraram o atraso entre a direção de uma roda com pneu e o acúmulo da força lateral em direção a um valor de estado estacionário, o que é de grande importância no fenômeno de trepidação da roda (Pacejka 1966). Os resultados dependentes de cada uma das três suposições alternativas sobre o comportamento do pneu são incluídos e comparados.

DESCRIÇÃO FÍSICA DO MODELO

As seguintes suposições são feitas em relação à representação do veículo.

(1) O veículo consiste em duas estruturas rígidas unidas no eixo de direção com liberdade, restringida por um amortecedor de direção linear, da estrutura frontal para dirigir em relação à traseira.

(2) A estrutura frontal consiste na roda dianteira, garfos, guidão e acessórios.

(3) A estrutura traseira consiste na estrutura principal, o conjunto motor-caixa de câmbio, o tanque de gasolina, assento, garfos traseiros, roda traseira, etc., com o piloto rigidamente preso.

(4) Cada estrutura tem um plano longitudinal de simetria, e o eixo através do centro de massa da estrutura frontal paralelo ao eixo de direção é o principal.

(5) As rodas da estrada são discos rígidos, cada um fazendo contato pontual com a estrada, e rolam sem deslizamento longitudinal em uma superfície plana e nivelada da estrada.

(6) O eixo de rotação do volante do motor é transversal.

(7) A máquina se move a uma velocidade constante para frente com liberdade para derrapar, guinar e rolar; apenas pequenas perturbações da corrida em linha reta são consideradas.

(8) O ar através do qual a máquina se move é estacionário, de modo que os efeitos da força lateral aerodinâmica, momento de guinada e momento de rolamento serão pequenos em comparação com os efeitos dos pneus. Os efeitos do arrasto, sustentação e momento de arremesso são para modificar a carga vertical dos pneus e tornar necessária uma força longitudinal na roda motriz suficiente para manter a velocidade constante para frente assumida. Esses efeitos são contabilizados por variações nos coeficientes que relacionam as forças laterais do pneu aos ângulos de derrapagem e cambagem.

(9) O rastro pneumático dos pneus não é considerado, pois, para o pneu traseiro, seu efeito será muito pequeno e, para o pneu dianteiro, é pequeno em comparação com o rastro mecânico, e os efeitos da variação do próprio rastro mecânico estão incluídos nos resultados.

(10) A força de arrasto no pneu dianteiro é pequena em comparação com as forças laterais do pneu.

As suposições de que a motocicleta com rodas rígidas se move em uma superfície plana da estrada e que não tem liberdade para inclinar são, estritamente falando, incompatíveis. Conforme o guidão é virado, o ponto de contato do pneu dianteiro com a estrada em geral se move verticalmente e o problema é, de fato, tratado como se a superfície da estrada também se movesse verticalmente para manter o contato. Tendo em mente a pequenez desses movimentos verticais em funcionamento normal, e o fato de que as flexibilidades do pneu e da suspensão e as irregularidades da estrada foram ignoradas, isso é considerado uma extensão insignificante das suposições acima.

A motocicleta é representada no diagrama da Fig.1 com o ponto $A$ definido como a intersecção do plano transversal vertical contendo o centro de massa do chassi traseiro, o plano longitudinal de simetria e o plano do solo. $A$ é a origem de um conjunto de eixos ortogonais à direita $AX_2 Y_2 Z_2$ que se move com o veículo e que, com o veículo na condição de dado vertical, tem $AX_2$ horizontal e apontando para frente, $AY_2$ horizontal e para estibordo e $AZ_2$ verticalmente para baixo.

Representação esquemática da motocicleta

O centro de massa do chassi dianteiro $G_f$ é a origem de outro conjunto de eixos ortogonais à direita $G_f X_4 Y_4 Z_4$ , este se movendo com o chassi dianteiro. Com o veículo em sua condição de referência, $G_f X_4$ fica no plano longitudinal de simetria e é normal ao eixo de direção, $G_f Y_4$ é paralelo a $A Y_2$ e $G_f Y_4$ é paralelo ao eixo de direção (apontando para baixo). O movimento da motocicleta é referido aos eixos inerciais $OX_0 Y_0 Z_0$ pelas coordenadas $x_0$ , $y_0$ de $A$ e os deslocamentos angulares $\psi$ , $\phi$ e $\delta$ mostrados na Fig.2, $O$ sendo fixo na superfície da estrada.

Sistemas de eixos, deslocamentos angulares e velocidades.

EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

As equações de movimento são derivadas pela aplicação da equação de Lagrange \cite{bishop1960}

(1) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \right ) - \frac{\partial T}{\partial q} + \frac{\partial V}{\partial q} = Q_q \end{aligned} \end{eqnarray*}$

A posição do veículo é definida em relação aos eixos $OX_0 Y_0 Z_0$ pelas coordenadas $x_0$ , $y_0$ de $A$ , o ângulo de guinada e o ângulo de rolagem 4, que definem o chassi traseiro, o ângulo de direção

$\psi$ , que define o chassi dianteiro em relação ao traseiro, e os ângulos

$\theta_f$ e $\theta_r$ que definem as posições rotacionais das rodas da estrada e do volante do motor. Os últimos são mostrados nas Figuras 3 e 4. Expressões para as energias cinética e potencial em termos dessas sete coordenadas são primeiro obtidas e então utilizadas para fornecer equações para as liberdades lateral, de guinada, de rolagem e de direção da máquina.

Ponto de referência $A$ e roda traseira olhando
ao longo de $OY_2$ .

Estrutura frontal em condição de referência olhando
ao longo de $OY_4$ .

A exigência de uma equação que descreva o movimento longitudinal da motocicleta e de equações que descrevam as rotações das rodas desaparece por meio das suposições de velocidade constante para frente e de ausência de deslizamento longitudinal dos pneus; estas últimas também permitem a eliminação de $\theta_f$ e $\theta_r$ das outras equações.

As forças generalizadas são derivadas em termos das forças do pneu. As forças do pneu são então obtidas em termos dos parâmetros de movimento do veículo, por meio de expressões para os ângulos de deslizamento lateral e cambagem do pneu. A consideração de pequenas perturbações da corrida em linha reta permite a eliminação de todos os termos de segunda ordem e de ordem superior; as equações finais do movimento são lineares.

As equações que descrevem a curva estável são obtidas pela eliminação dos termos variáveis no tempo, enquanto as equações de controle fixo são obtidas pela omissão do grau de liberdade da direção. Detalhes das derivações são fornecidos no Apêndice 1, enquanto no Apêndice 2 é mostrado como a análise pode ser restringida pela omissão do deslizamento lateral do pneu.

Solução das equações

As equações diferenciais lineares de movimento na forma homogênea, ou seja, com $\tau = 0$ , foram reduzidas a um conjunto de equações de primeira ordem pela introdução de novas variáveis $v =\dot{y}_1$ , $r =\dot{\psi}$ , $\Phi = \dot{\phi}$ e $\Delta = \dot{\delta}$ . Então, assumindo soluções da forma $v = X_1 e^{\mu t}$ , $r = X_2 e^{\mu t}$ , etc. (Karman 1940) e substituindo essas soluções de volta nas equações originais, resulta um conjunto de equações algébricas, que podem ser expressas na forma matricial $(B)\mu (X) + (A)(X) = (0)$ . Aqui, $(B)$ e $(A)$ são matrizes de coeficientes quadrados, enquanto $(X)$ é uma matriz coluna das amplitudes desconhecidas $X_1$ , $X_2$ , etc.

Pré-multiplicando por $(B)^{-1}$ e reorganizando,

(2) $\begin{equation*}\nonumber -(B)^{-1}(A)(X) = \mu (X) \end{equation*}$

e para soluções não triviais para $(X)$ , os valores possíveis de $\mu$ devem ser autovalores de $-(B)^{-1}(A)$ (Crandall 1956). As partes reais dos autovalores indicam o amortecimento e as partes imaginárias as frequências naturais associadas aos vários modos normais.

Um procedimento numérico foi, portanto, empregado para calcular os elementos das matrizes $(A)$ e $(B)$ acima a partir dos parâmetros de projeto para uma máquina específica e de sua velocidade de avanço, formando $-(B)^{-1}(A)$ , e encontrando seus autovalores por meio de um procedimento empregando o algoritmo $QR$ (Wilkinson 1965). As equações de estado estacionário linear foram resolvidas escolhendo uma velocidade de avanço e ângulo de rolagem e resolvendo simultaneamente para $\dot{y}_1$ , $\dot{\psi}$ e $\delta$ , e então usando a equação para a liberdade de direção para fornecer $\tau$ .

RESULTADOS

Os resultados se enquadram em uma das quatro categorias que abrangem os seguintes pontos.

(1) Frequências naturais e características de amortecimento de uma máquina específica em controle livre de acordo com o modelo que exclui o deslizamento lateral do pneu, o modelo que inclui o deslizamento lateral do pneu, mas assume resposta instantânea do pneu e o modelo que inclui a dinâmica da resposta do pneu.

(2) Os efeitos das mudanças no design da máquina no modelo que inclui a dinâmica da resposta do pneu.

(3) O comportamento de curva estável (em baixa aceleração lateral) como uma função da velocidade de avanço e do design da máquina.

(4) Frequências naturais e características de amortecimento da motocicleta em controle fixo.

Os resultados da categoria (1) são mostrados nas Figuras 5 – 7, nas quais os fatores de amortecimento são plotados em relação à velocidade de avanço, com as frequências circulares de quaisquer modos oscilatórios mostrados em relação às partes apropriadas das curvas. Os resultados da categoria (2) são mostrados nas Tabelas 1, 2 e 3, cada uma dessas tabelas se preocupando com um modo de significância física. A Tabela 1 se refere a um modo não oscilatório no qual, quando instável, o movimento da motocicleta é como o de um navio emborcando. Para facilitar a referência, isso será chamado de modo “emborcar”, e as Tabelas 2 e 3 se referem aos modos oscilatórios que serão chamados de modos “tecer” e “oscilar”, respectivamente. Outros modos são fortemente amortecidos e, portanto, fisicamente sem importância, e os resultados detalhados referentes a eles não estão incluídos. Os resultados da categoria (3) são mostrados na Tabela 4, enquanto aqueles na categoria (4) são fornecidos na Fig.8.

Estabilidade e frequências naturais da máquina padrão em função da velocidade de avanço com o tratamento completo do pneu.

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Os resultados da análise completa com a dinâmica da resposta do pneu incluída (Fig.5) mostram que a motocicleta tem três modos fisicamente significativos, que são aqui chamados de modos de capotamento, tecelagem e oscilação. O modo de capotamento não é oscilatório; em baixa velocidade, é bem amortecido, mas tem amortecimento decrescente rapidamente à medida que a velocidade aumenta acima de 15 ft/s aproximadamente. Ele se torna muito levemente instável acima de cerca de 35 ft/s com taxa de divergência máxima próxima a 60 ft/s, diminuindo depois à medida que a velocidade aumenta. O modo de tecelagem tem uma frequência natural aumentando de cerca de 0,2 Hz a 5 ft/s de velocidade para frente para cerca de 3,4 Hz a 160 ft/s de velocidade para frente, é instável até cerca de 20 ft/s, bem amortecido na faixa de velocidade média e é moderadamente amortecido em alta velocidade. O modo oscilante tem uma frequência natural que é quase independente da velocidade de avanço e é de cerca de 9 Hz. É bem amortecido em velocidades baixas e médias, mas apenas moderadamente em altas velocidades. Este grau de amortecimento é fortemente dependente do valor tomado para o comprimento de relaxamento, $\sigma$ (Tabela 3), e o do modo “onda” é um pouco assim (Tabela 2), e, como seria de se esperar, como $\sigma \to 0$ os resultados mostrados na Fig.5 se tornam mais próximos daqueles da Fig.6.

Estabilidade e frequências naturais da máquina padrão em função da velocidade de avanço com deslizamento lateral do pneu, mas com resposta instantânea.

A Fig.6 mostra um modo de capotamento virtualmente idêntico ao da Fig.5, mas também mostra um amortecimento significativamente menor do modo de onda em alta velocidade e um amortecimento marcadamente diferente do modo de oscilação em toda a faixa de velocidade. As frequências naturais dos modelos com resposta instantânea do pneu e resposta dinâmica adequada do pneu são semelhantes.

A Fig.7 mostra que o modelo sem derrapagem do pneu fornece representações do modo de capotamento e, somente em baixas velocidades, do modo de onda, semelhantes aos do modelo completo. Com o modelo sem derrapagem, no entanto, o modo de oscilação está completamente ausente e nenhuma possibilidade de explicação do fenômeno de “oscilação do speedman” é oferecida.

Estabilidade e frequências naturais da máquina padrão em função da velocidade de avanço com deslizamento lateral do pneu inibido.

O autor não tem conhecimento de nenhuma informação específica sobre comprimentos de relaxamento para pneus de motocicleta, e o valor de 0,8 ft que foi tomado para a máquina padrão é baseado principalmente em medições de Labarre e Mills \cite{labarre1968} em um pneu de 2 $\frac{1}{4}$ in de seção e 12 $\frac{1}{2}$ in de diâmetro. Se esse valor for da ordem de grandeza correta, o que é muito provável, é aparente que uma representação adequada das características dinâmicas da motocicleta depende da inclusão do deslizamento lateral do pneu e da propriedade de relaxamento do pneu.

Estabilidade de controle fixo e frequência natural da máquina padrão em função da velocidade de avanço.

Os efeitos de parâmetros registrados nas Tabelas 1, 2 e 3 mostram que o modo de capotamento é comparativamente pouco alterado, mas os modos de tecelagem e oscilação podem ser influenciados consideravelmente por mudanças de parâmetros. O último é mais sensível ao coeficiente de amortecimento de direção, $K$ , aumentando o que estabiliza a oscilação às custas do modo de tecelagem, embora as mudanças no último com a variação de $K$ não sejam grandes. Ao aumentar o amortecimento de direção, de fato, o amortecimento adequado do modo de oscilação em qualquer velocidade (até o máximo de 160 ft/s empregado neste estudo) pode ser obtido, de modo que o problema potencial em alta velocidade é o amortecimento inadequado do modo de tecelagem. O comprimento de relaxamento também é um parâmetro importante, como já indicado, e aumentá-lo desestabiliza os modos de tecelagem e oscilação apreciavelmente.

APÊNDICE 1

DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

Energia cinética

(3) $\begin{equation*} \nonumber T = T_f + T_r + T_w \end{equation*}$

Com

(4) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} T_f = \frac{1}{2}M_f\zeta^2 + \frac{1}{2}I_{fx}{p_f}^2 + \frac{1}{2}I_{fy} {q_f}^2 + \frac{1}{2}I_{fz}{r_z}^2 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(5) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} T_r = \frac{1}{2}M_r\eta^2 + \frac{1}{2}I_{rx}{p_r}^2 + \frac{1}{2}I_{ry} {q_r}^2 \\ + \frac{1}{2}I_{rz}{r_z}^2 - C_{rxz}p_r r_r \end{aligned} \end{eqnarray*}$

e $T_w =$ termos extras além daqueles incluídos em $T_f$ e $T_r$ para levar em conta as rotações das rodas e do volante do motor.

$G_f$ tem componentes de velocidade

$\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_1 - h sin \phi \dot{\psi} \\ & \dot{y}_1 + h cos \phi\dot{\phi} \\ & h sin \phi\dot{\phi} \end{aligned} \right\} \quad \begin{aligned} &\text{ao longo de $OX_1$} \\ &\text{ao longo de $OY_1$} \\ &\text{ao longo de $OZ_1$} \end{aligned}$

portanto

(6) $\begin{equation*}\nonumber \eta^2 = (\dot{x}_1 - h sin\phi \dot{\psi})^2 + (\dot{y}_1 + h cos\phi\dot{\phi})^2 + h sin \phi\dot{\phi} \end{equation*}$

também

$p_r = \dot{\phi}$ , $q_r =sin phi \dot{\phi}$ , $r_r = cos phi \dot{\phi}$

portanto

(7) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} T_r = \frac{1}{2}M_r(\dot{x}_1 - h sin \phi \dot{\psi})^2 + (\dot{y}_1 + h cos \phi\dot{\phi})^2\\ + (h sin \phi\dot{\phi})^2 + \frac{1}{2}I_{rx}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}I_{ry}(sin \phi \dot{\psi})^2 \\ + \frac{1}{2}I_{rz}(sin \phi \dot{\psi})^2 - C_{rxz} cos\phi\dot{\phi}\dot{\psi}. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(8) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} T_f = \frac{1}{2}M_r[\{\dot{x}_1 - ecos \epsilon sin \delta \dot{\delta} - (a sin\epsilon \phi \\ + e sin \delta cos \phi + e sin \epsilon cos \delta sin \phi \\ + f cos \epsilon sin\phi)\dot{\psi}}^2 + {\dot{y}_1 + a sin \epsilon cos \phi \dot{\phi}\\ + e sin \epsilon cos \delta cos \phi \dot{\phi} - e sin \epsilon sin \delta sin \phi \delta{\delta}\\ + f cos \epsilon cos \phi \dot{phi} + (a cos \epsilon + e cos \epsilon cos \delta\\ - f sin \epsilon) \dot{\psi}^2} + {a sin \epsilon sin \phi \dot{\phi} + e sin \delta cos \phi \dot{\phi}\\ + e cos \delta sin \phi \dot{\delta} + e sin \epsilon cos \delta sin \phi \dot{\phi}\\ + e sin\epsilon sin\delta cos\phi \dot{\delta} + f cos\epsilon sin\phi \dot{\phi}\}^2]\\ + \frac{1}{2}I_{fx}\{cos\epsilon cos \delta \dot{\phi} + (sin\delta sin\phi\\ - sin\epsilon cos\delta cos\phi)\dot{\psi}\}^2 + \frac{1}{2}I_{fy}\{-cos\epsilon sin \delta \dot{\phi}\\ + sin\epsilon sin\delta cos\phi + cos\delta sin\phi)\dot{\psi}\}^2\\ + \frac{1}{2} I_{fz}\{\dot{\delta} + sin \epsilon \dot{\phi} + cos\epsilon cos\phi \dot{\psi}\}^2 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

As energias cinéticas de translação das rodas são contabilizadas em $T_f$ e $T_r$ , mas as energias cinéticas de rotação não.

Para a roda traseira, os componentes da velocidade angular nos eixos $OX_2 Y_2 Z_2$ são

$\left\{ \begin{aligned} & P_r \\ & q_r + \dot{\theta_r} \\ & r_r \end{aligned} \right\} = \left\{ \begin{aligned} & \phi \\ & \sin\phi \dot{\psi} + \dot{\theta_r} \\ & cos\phi \dot{\psi} \end{aligned} \right\}$

energia cinética rotacional $=\frac{1}{2} \textbf{i}_{rx} \phi^2 + \frac{1}{2} \textbf{i}_{ry}(sin\phi \dot{\psi}) + \frac{1}{2} \textbf{i}_{rx}(cos \phi \dot{\psi})$

Esses termos já foram contabilizados pela inclusão da roda traseira no quadro traseiro, exceto $\frac{1}{2}\textbf{i}_{ry}(2 sin \phi \dot{\psi} \dot{\theta_r} + \dot{\theta_r}^2)$ e, portanto, esse termo contribui para $T_{\omega}$ .

Da mesma forma, o volante do motor e a roda dianteira contribuem com $T_{\omega}$ para que

(9) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} T_{\omega} = \textbf{i}_{ry}(sin \phi \dot{\psi} \dot{\theta_r} + \frac{1}{2}\dot{\theta_r}^2) + i(\lambda sin\phi \dot{\psi} \dot{\theta_r} + \frac{1}{2}\lambda^2 \dot{\theta_r}^2) \\ \textbf{i}_{fy}[\{-cos \epsilon sin\delta \dot{\phi} + (sin \epsilon sin\delta cos\phi\\ + cos \delta sin\phi)\dot{\psi}\}\dot{\theta_f} + \frac{1}{2}\dot{\theta_f}^2] \end{aligned} \end{eqnarray*}$

\noindent dando $T$ pela adição das equações (7), (8) e (9).

Energia potencial

$V = V_f+ V_r$ e inclui apenas a energia potencial gravitacional

dos quadros dianteiro e traseiro, tomada como zero quando ambos

os centros de massa estão no nível do solo. Portanto

(10) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} V = M_f g(a sin \epsilon cos\phi - e sin\delta sin\phi \\ + e sin\epsilon cos \delta cos\phi + f cos\epsilon cos\phi) + M_r gh cos\phi \end{aligned} \end{eqnarray*}$

\textbf{Equação lateral do movimento} e $\partial T / \partial \psi$

As equações para a translação do veículo ao longo de $OX_0$

e $OY_0$ reduzem-se

(11) $\begin{equation*}\nonumber \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_0} = Q_{x0} \hspace{2mm} \text{e} \hspace{2mm} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{y}_0} = Q_{y0} \end{equation*}$

respectivamente, desde

(12) $\begin{equation*}\nonumber \frac{\partial T}{\partial x_0} = \frac{\partial T}{\partial y_0} = \frac{\partial V}{\partial x_0} = \frac{\partial V}{\partial y_0} = 0 \end{equation*}$

A inércia e as forças externas são resolvidas ao longo de $OY_1$ para obter a equação lateral do movimento, portanto

(13) $\begin{equation*} - Q_{x0} sin \psi + Q_{y0} cos\psi = Q_{y1} = \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{y}_1} + \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_1}\dot{\psi} \end{equation*}$

(14) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \psi} = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_1}\frac{\partial \dot{x}_1}{\partial \psi} + \frac{\partial T}{\partial \dot{y}_1}\frac{\partial \dot{y}_1}{\partial \psi} = \dot{y}_1 \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_1} + \dot{x}_1 \frac{\partial T}{\partial \dot{y}_1} \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Por meio do uso dessas expressões (13) e (14), evita-se a necessidade de substituir $\dot{x}_1$ e $\dot{y}_1$ por $\dot{x}_0$ e $\dot{y}_0$ na expressão de energia cinética.\\

\textbf{Eliminação de} $\dot{\theta}_f$ e $\dot{\theta}_r$

Para nenhum deslizamento longitudinal do pneu

(15) $\begin{equation*} \dot{\theta}_r = - \frac{\dot{x}_1}{R_r} \end{equation*}$

O ponto mais baixo da circunferência da roda dianteira, ou seja, o ponto de contato pneu-estrada, tem

(16) $\begin{equation*} \dot{\theta}_f = tan^{-1} \left(\frac{\delta tan \phi - sin \epsilon}{cos \epsilon}\right) \simeq - \epsilon \end{equation*}$

ignorando o termo de segunda ordem $\delta tan\phi$ .

Igualando a componente de velocidade ao longo de $OX_1$ de um ponto geral na circunferência da roda dianteira, com a condição acima $\theta_f = - \epsilon$ , a zero, obtém-se

(17) $\begin{equation*} \dot{\theta}_f = - \frac{1}{R_f}(\dot{x}_1 + t \delta cos\phi \dot{\psi}) \end{equation*}$

Vista plana da motocicleta mostrando as forças da estrada em relação ao pneu no plano do solo.

Forças generalizadas

Em referência à Fig.9

(18) $\begin{equation*} Q_{y1} = X_f sin\gamma + Y_f cos \gamma + Y_r \simeq Y_f + Y_r \end{equation*}$

e usando a equação (16)

(19) $\begin{equation*} Q_{\psi} \simeq lY_f - bY_r \end{equation*}$

(20) $\begin{equation*} Q_{\phi} \simeq - t \delta(cos \phi Z_f - sin \phi Y_f) \end{equation*}$

(21) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} Q_{\delta} \simeq - K \dot{\delta} + t[\{(X_f - Y_{f\gamma}) cos \epsilon + (Y_f sin \psi \\ - Z_f cos \phi) sin \epsilon\} \delta - ( Y_f cos \phi + Z_f sin\phi] + \tau \end{aligned} \end{eqnarray*}$

substituindo $sin \gamma$ por $\gamma$ e colocando cos $\gamma = 1$ . A carga da roda dianteira $Z_f$ é tomada como constante.

Forças laterais do pneu

As forças laterais do pneu são funções dos respectivos ângulos de deslizamento lateral e cambagem dos pneus. A roda dianteira em alguma posição geralmente deslocada é mostrada na Fig.10 com $EI$ o vetor unitário ao longo do eixo da roda.

Roda dianteira curvada e esterçada. O plano através de $E$ , $J$ e $K$ é paralelo ao plano de solo $OX$ , $Y$ , com $EK$ paralelo a $OY_1$

$EI \hspace{2mm}\text{tem componentes} \left\{ \begin{aligned} & - \delta cos \epsilon \\ & cos \phi - sin \epsilon sin \phi \delta \\ & sin \phi + sin \epsilon cos \phi \delta \end{aligned} \right\} \quad \begin{aligned} &\text{ao longo de $OX_1$} \\ &\text{ao longo de $OY_1$} \\ &\text{ao longo de $OZ_1$} \end{aligned}$

Portanto

(22) $\begin{equation*} sin \phi_f = sin \phi + sin \epsilon cos \phi \delta \end{equation*}$

e

(23) $\begin{equation*} sin\gamma = \frac{\delta cos \epsilon}{\{1 - (sin\phi + sin \epsilon cos \phi \delta)^2\}^{1/2}} \end{equation*}$

A velocidade de avanço do ponto de contato do pneu dianteiro é

(24) $\begin{equation*}\nonumber \dot{x}_1 + t\delta cos\phi\dot{\psi} \end{equation*}$

usando a equação (16) e $t\delta cos\phi\dot{\psi} \ll \dot{x}_1$ . A velocidade lateral é

(25) $\begin{equation*}\nonumber \dot{y}_1 + l\dot{\psi} + t(\delta sin \phi\dot{\phi} - \dot{\delta} cos\phi) \end{equation*}$

novamente usando a equação (16). Portanto

(26) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \alpha_f \simeq tan^{-1} \left[\frac{1}{\dot{x}_1}\{\dot{y}_1 + l\dot{\psi} + t(\delta sin\phi\dot{\psi} - \dot{\delta}cos\phi)\}\right] - \gamma \\ \text{e} \hspace{4mm} \alpha_r \simeq tan^{-1} \left[\frac{1}{\dot{x}_1}(\dot{y}_1 + b\dot{\psi})\right] \end{aligned} \end{eqnarray*}$

com o ângulo de cambagem da roda traseira simplesmente $\phi$ .

Quando os ângulos de deslizamento lateral e de cambagem são pequenos, as forças laterais do pneu em estado estacionário são descritas com precisão por funções lineares de deslizamento lateral e ângulos de cambagem da forma

(27) $\begin{equation*} {Y'}_f = C_{f1 \alpha_f} + C_{f2 \phi_f} \end{equation*}$

(28) $\begin{equation*} {Y'}_r = C_{r1 \alpha_r} + C_{r2 \phi_r} \end{equation*}$

e as forças laterais do pneu $Y_f$ e $Y_r$ estão relacionadas aos seus valores de estado estacionário pelas equações (17)

(29) $\begin{equation*} \frac{\sigma_f}{\dot{x}_1} + Y_f = Y'_f \hspace{4mm} \text{e} \hspace{4mm} \frac{\sigma_r}{\dot{x}_1} + Y_r = Y'_r \end{equation*}$

quando a propriedade de relaxamento do pneu é contabilizada. Esta propriedade é omitida da análise colocando $Y_f = Y'_f$ e $Y_r = Y'_r$ em vez das equações (29).

Equações lineares de movimento

Diferenciações apropriadas da expressão para $T$ (por

adição das equações (7), (8) e (9)) e $V$ (equação (10)), dão $\partial T/\partial \phi$ , $\partial T/\partial \delta$ , $\partial T/\partial \dot{x}_1$ , $\partial T/\partial \dot{y}_1$ , $d/dt(\partial T/\partial \dot{y}_1)$ , $d/dt(\partial T/\partial \dot{\psi})$ , $d/dt(\partial T/\partial \dot{\phi})$ , $d/dt(\partial T/\partial \dot{\delta})$ , $\partial V/\partial \phi$ , $\partial V/\partial \delta$ e, da equação (14), $\partial T/\partial \psi$ . As forças generalizadas são dadas nas equações (18), (19), (20) e (21), as forças laterais do pneu nas equações (27)-(29), e os ângulos de deslizamento lateral e cambagem nas equações (22)-(26). Assim, todos os termos necessários para a equação lateral (13) e para as outras três equações na forma padrão (equação (??)) estão disponíveis.

Com os termos de segunda e de ordem superior omitidos, as equações são

(30) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} (M_f + M_r)(\ddot{y}_1 + \dot{x}_1\dot{\psi}) + M_f k \ddot{\psi} + (M_fj + M_rh)\ddot{\phi}\\ + M_f e \ddot{\delta} - Y_f - Y_r = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(31) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} M_f k \ddot{y}_1 + (M_f e k + I_{fz} cos \epsilon)\ddot{\delta} - \frac{i_{fy}}{R_f}sin \epsilon \dot{x}_1 \dot{\delta}\\ + \{M_f j k - C_{rxz} + (I_{fz} - I_{fx})sin \epsilon cos \epsilon\}\ddot{\phi}\\ - \left(\frac{i_{fy}}{R_f} + \frac{i_{ry} + \lambda i}{R_r}\right)\dot{x}_1\dot{\phi} + (M_f k^2 + I_{rz} + I_{fx} sin^2\\ + I_{fz} cos^2 \epsilon) \ddot{\psi} + M_f k \dot{x}_1 \dot{\psi} - lY_f + bY_r = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(32) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} (M_fj + M_rh)\ddot{y}_1 + (M_f ej + I_{fx} sin \epsilon) \ddot{\delta} + \frac{i_{fy}}{R_f} cos \epsilon \dot{x}_1 \delta \\ + (tZ_f - M_feg)\delta + (M_f j^2 + M_rh^2 +I_{rx} + I_{fx}cos^2 \epsilon\\ + I_{fz} sin^2 \epsilon)\ddot{\phi} - (M_f j + M_rh)g\phi + \{M_fk - C_{rxz}\\ + (I_{fz} - I_{fx})sin \epsilon cos \epsilon\}\ddot{\psi} \\ + \left( M_fj + M_rh + \frac{i_{fy}}{R_f} \frac{i_{ry} + \lambda i}{R_r}\right)\dot{x}_1 \dot{\psi} = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(33) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} M_f e\ddot{y}_1 + (I_{fz} + M_fe^2)\ddot{\delta} + K\dot{\delta} + (tZ_f - M_feg)sin \epsilon \delta\\ +(M_fej + I_{fz}sin \epsilon)\ddot{\phi} - \frac{i_{fy}}{R_f}cos \epsilon \dot{x}_1 \dot{\phi} + (tZ_f - M_f eg)\phi\\ + (M_f ek + I_{fz} cos \epsilon)\ddot{\psi} + \left( M_fe + \frac{i_{fy}}{R_f} sin \epsilon \right)\dot{x}_1 \dot{\psi} + t Y_f = \tau \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(34) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} \frac{\sigma_r}{\dot{x}_1}\dot{Y}_r + Y_r = C_{r1}\left(\frac{b\dot{\psi} - \dot{y}_1}{\dot{x}_1} \right) + C_{r2} \phi \end{aligned} \end{eqnarray*}$

APÊNDICE 2

Equações de movimento com deslizamento lateral do pneu eliminado

A condição de que os pneus não derrapem implica que $\alpha_f = \alpha_r = 0$ . Assim, a partir das equações (23) e (26)

(35) $\begin{equation*}\nonumber \frac{1}{\dot{x}_1}(\dot{y}_1 + l\dot{\psi} - t\dot{\delta}) - \delta cos \epsilon = 0 \end{equation*}$

e $\dot{y}_1 = \dot{\psi}$ , dando

(36) $\begin{equation*}\nonumber \dot{\psi} = \frac{\dot{x}_1 cos \epsilon \delta + t\dot{\delta}}{b + l} \hspace{3mm} \text{e} \hspace{3mm} \dot{y}_1 = \frac{b}{b + l}(\dot{x}_1 cos \epsilon \delta + t\dot{\delta}) \end{equation*}$

e portanto

(37) $\begin{equation*}\nonumber \ddot{\psi} = \frac{\dot{x}_1 cos \epsilon \ddot{\delta} + t\ddot{\delta}}{b + l} \hspace{3mm} \text{e} \hspace{3mm} \ddot{y}_1 = \frac{b}{b + l}(\dot{x}_1 cos \epsilon \delta + t\ddot{\delta}) \end{equation*}$

para $\dot{x}_1$ constante.

Substituindo essas expressões nas equações lineares de movimento e eliminando $Y_f$ e $Y_r$ obtemos

(38) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} [(M_{f}j + M_{r}h)b t + M_{f} e j l_1 + I_{fz} \sin \epsilon l_1 \\ + \left\{M_{f}j k - C_{rxz} + (I_{fz} - I_{fx}) \sin \epsilon \cos \epsilon \right\} t ] \ddot{\delta} \\ + \bigg[(M_{f}j + M_{r}h) b \cos \epsilon \dot{x}_1 + \frac{I_{fy}}{R_f} \dot{x}_1 \cos \epsilon l_1 \\ + \left\{M_{f}j k - C_{rxz} + (I_{fz} - I_{fx}) \sin \epsilon \cos \epsilon \right\} \dot{x}_1 \cos \epsilon \\ + \left(M_{f}j + M_{r}h + \frac{i_{fy}}{R_f} + \frac{i_{fy} + \lambda i}{R_r}\right) \dot{x}_1 t \bigg] \dot{\delta} + \bigg[-M_{f} e l_1 g \\ + \left(M_{f}j + M_{r}h + \frac{i_{fy}}{R_f} + \frac{i_{fy + \lambda i}}{R_r}\right) x_1^2 \cos \epsilon + Z_f t l_1 \bigg] \delta \\ + \left(M_{f} j^2 + M_{r} h^2 + I_{rx} + I_{fx} \cos^2 \epsilon + I_{fz} \sin^2 \epsilon \right) l_1 \ddot{\phi} \\ - (M_{f} j + M_{r} h) g l_1 \phi = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

e

(39) $\begin{eqnarray*}\nonumber \begin{aligned} [I_{fz} {l_1}^2 + M_f e^2 {l_1}^2 + t^2 \{(M_f + M_r)b^2 + 2 M_f bk + M_fk^2 + I_{rz}\\ + I_{fx} sin^2 \epsilon + I_{fz} cos^2 \epsilon\}]\ddot{\delta} + \bigg[ M_f ebl_1 \dot{x}_1 cos \epsilon \\ + (M_f ek + I_{fz} cos \epsilon)l_1 \dot{x}_1 cos\epsilon + \left(M_fe + \frac{i_{fy}}{R_f} sin \epsilon \right)\dot{x}_1 l_1 t \\ + K {l_1}^2 + t\{(M_f + M_r)b^2 \dot{x}_1 cos\epsilon + 2 M_f bk \dot{x}_1 cos\epsilon \\ + (M_f + M_r)bt \dot{x}_1 - \frac{i_{fy}}{R_f}l_1 \dot{x}_1 sin \epsilon + (M_f k^2 + I_{rz} + I_{fx} sin^2 \epsilon \\ + I_{fz} cos^2 \epsilon)\dot{x}_1 cos\epsilon + M_f kt \dot{x}_1 \}\bigg]\dot{\delta} + \bigg[Z_f t {l_1}^2 sin\epsilon - M_f e{l_1}^2 g sin\epsilon \\ +\left(M_f e + \frac{i_{fy}}{R_f} sin \epsilon \right)\dot{x_1}^2 l_1 cos\epsilon + t \{(M_f + M_r)\dot{x_1}^2 b cos \epsilon \\ + M_f k \dot{x_1}^2 cos \epsilon \}\bigg]\delta + [M_f ej {l_1}^2 - I_{fz} {l_1}^2 sin\epsilon + b l_1 t(M_f j + M_r h) \\ + tl_1 \{M_f jk - C_{rxz} + (I_{fz} - I_{fx})sin\epsilon cos\epsilon \}] \ddot{\phi} + \bigg[- \frac{i_{fy}}{R_f} l_1 cos \epsilon \\ - t \left(\frac{i_{fy}}{R_f} + \frac{i_{fy} + \lambda i}{R_r}\right)\bigg]l_1\dot{x}_1 \dot{\phi} + (Z_f t - M_f eg){l_1}^2 \phi = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

APÊNDICE 3

Valores de parâmetros a máquina padrão e o condutor

$M_f$ 2.1 slug.

{ $M_r$ 14.9 slug.}

$Z_f$ -226 lb.

$I_rx$ 23 slug ft $^2$ .

$I_rz$ 15.54 slug ft $^2$ .

$C_{rxz}$ 1.28 slug ft $^2$ .

$I_{fx}$ 0.91 slug ft $^2$ .

$I_{fz}$ 0.326 slug ft $^2$ .

$i_{fy}$ 0.53 slug ft $^2$ .

$i_{ry} + \lambda i$ 0.775 slug ft $^2$ .

$a$ 3.112 ft.

$b$ 1.574 ft.

$e$ 0.08 ft.

$f$ 0.093 ft.

$h$ 2.02 ft.

$R_f$ , $R_r$ 1 ft.

$t$ 0.38 ft.

$\epsilon$ 0.4715 rad = 27°.

$C_{f1}$ 2512 lb/rad.

$C_{f2}$ 211 lb/rad.

$C_{r1}$ 3559 lb/rad.

$C_{r2}$ 298 Ib/rad.

$K$ 5 lb ft/(rad/s).

$\sigma$ 0.8 ft.

APÊNDICE 4

Números chaves para o modelo

(1) Máquina padrão (valores de parâmetros no Apêndice 3).

(2) Amortecimento de direção reduzido, $K$ = 2 lb ft/(rad/s).

(3) Amortecimento de direção aumentado, $K$ = 10 lb ft/(rad/s).

(4) Comprimento de relaxamento curto, $\sigma$ = 0,4 ft.

(5) Comprimento de relaxamento longo, $\sigma$ = 1,4 ft.

(6) Centro de massa do chassi traseiro baixo, $h$ = 1,01 ft.

(7) Centro de massa do chassi traseiro movido 1 ft para frente com $K$ = 8 lb ft/(rad/s).

(8) Centro de massa do chassi dianteiro movido para trás, $e$ = -0,12 ft, com $k$ = 8 lb ft/(rad/s).

(9) Centro de massa do chassi dianteiro movido para baixo, $f$ = -0,41 pés.

(10) Cabeçote de direção íngreme, $\epsilon$ = 19°, com trilha curta, $t$ = 0,18 pés.

(11) Cabeçote de direção íngreme, $\epsilon$ = 19°.

(12) Cabeçote de direção íngreme, $\epsilon$ = 19°, com trilha longa, t = 0,58 pés.

(13) Trilha curta, $t$ = 0,18 pés.

(14) Trilha longa, $t$ = 0,58 pés.

(15) Cabeçote de direção raso, $\epsilon$ = 35°, com trilha curta, $t$ = 0,18 pés.

(16) Cabeçote de direção raso, $\epsilon$ = 35°.

(17) Cabeça de direção rasa, $\epsilon$ = 35°, com trilha longa, $t$ = 0,58 ft.

(18) Inércia da roda dianteira reduzida, $i_{fy}$ = 0,265 slug ft $^2$ , com $K$ = 3 lb ft/(rad/s).

(19) Inércia da roda dianteira aumentada, $i_{fy}$ = 1,06 slug ft $^2$ , com $K$ = 7,5 lb ft/(rad/s).

(20) Inércia da roda traseira aumentada, $i_{ry}$ = 1,55 slug ft $^2$ , com K = 6 lb ft/(rad/s).

(21) Centro do cubo esterçado com ângulo de rodízio de 15°.

(22) Centro do cubo esterçado com ângulo de rodízio de 25°.

(23) Centro do cubo esterçado com ângulo de castor de 35°.

(24) Com passageiro na garupa e K = 4 lb ft/(rad/s).

(25) Roda traseira movida 0,5 ft para trás para aumentar a distância entre eixos, com K = 6 lb ft/(rad/s).

(26) $C_{f1}$ reduzido em 20 por cento para 2010 lb/rad.

(27) $C_{f2}$ reduzido em 20 por cento para 169 lb/rad.

(28) $C_{r1}$ reduzido em 20 por cento para 2847 lb/rad.

(29) $C_{r2}$ reduzido em 20 por cento para 238 lb/rad.

(30) $I_x$ reduzido em 20 por cento para 18,4 slug ft $^2$ .

REFERÊNCIAS

[1] SEGEL, L. “Theoretical prediction and experimental substantiation of the response of the automobile to steering control”. Em: Proc. Auto. Div. Instn mech. Engrs No 7 (1956-57), p. 310.
[2] WHIPPLE, F. J. W. “The stability of the motion of the bicycle”. Em: Q. 3. Math. 30 (1989), p. 312.
[3] COLLINS, R. N. “A mathematical analysis of the stability of two-wheeled vehicles”. Em: (University Microfilms Inc., Ann Arbor, Michigan) (1964).
[4] PEARSALL, R. H. “The stability of a bicycle”. Em: Proc. Instn Auto. Engrs 17 (1922), p. 395.
[5] SEGEL, L. “An investigation of automobile handling as implemented by a variable-steering automobileEm: Hum. Factors 6 (1964), p. 333.
[6] WILSON-JONES, R. A. “Steering and stability of single track vehicles”. Em: Proc. Auto. Div. Instn mech.
Engrs (1951-52), p. 191.
[7] KONDO M., N. A. e YOSHIMURA, F. “Theoretical study on the running stability of the two-wheelers”. Em: Trans. Soc. auto. Engrs Japan 17 (No.1) (1963), p. 8.
[8] PACEJKA, H. B. “Analysis of the shimmy phenomenon”. Em: Proc. Instn mech. Engrs Pt 2A.180 (1965-66), p. 251.
[9] BISHOP, R. E. D. e JOHNSON, D. C. “The mechanics of vibration”. Em: (Cambridge University Press)
(1960).
[10] KARMAN, T. V. e BIOT, M. A. “Mathematical methods in engineering: an introduction to the mathematical treatment of engineering problems”. Em: (McGraw-Hill, Inc., New York and London) (1940).
[11] CRANDALL, S. H. “Engineering analysis: a survey of numerical procedures”. Em: (McGraw-Hill, Inc., New York and London) (1956).
[12] WILKINSON, J. H. “The algebraic eigenvalue problem”. Em: (Clarendon Press, Oxford) (1965).
[13] LABARRE, R. P. e MILLS, B. “An investigation into the dynamic stability of steering systems”. Em: Proc. Instn mech. Engrs Pt 2A.183 (1968-69), p. 113.

Tabelas

7 de março de 2025
Relações Cinemáticas Fundamentais Para Veículos de Via Simples

THOMAS R. KANE $^1$

Department of Applied Mechanics, Stanford University, Stanford, California, U.S.A.

Received 16 September 1974

$\noindent \textbf{Resumo.}$ As considerações cinemáticas desempenham um papel importante na análise dinâmica de veículos tipo monociclos. Este artigo aborda questões cinemáticas que devem ser enfrentadas no decorrer de toda análise desse tipo. Um modelo matemático é construído; são desenvolvidas equações aplicáveis quando ambas as rodas estão em contato de rolamento com uma superfície plana de apoio; são analisadas curvas em regime permanente; e os resultados são discutidos em detalhes.

Introdução

Estudos relacionados à dinâmica de veículos de via única surgiram na literatura técnica ao longo dos últimos 75 anos. $^{1-6}$ Durante esse período, o interesse mudou gradualmente em questões relacionadas à estabilidade e às qualidades de manuseio para o tópico da interação entre o condutor e o veículo, um assunto que se tornou passível de exploração detalhada somente com a chegada dos computadores de alta velocidade. Mais precisamente, talvez, pode-se dizer que uma tendência para ampliar o escopo das investigações de modo a incluir a consideração da interação condutor-veículo começou a se manifestar, embora a estabilidade e a qualidade do manuseio tenham continuado a receber atenção; a referência (6) é um caso recente em questão.

O uso cada vez mais extensivo de computadores tem sido acompanhado por outra mudança nas análises de veículos de pista única: os modelos matemáticos contidos a essas análises têm se tornado cada vez mais elaborados. Agora, isso pode significar que o trabalho de autores modernos levou a informações de maior valor do que aquelas obtidas por seus antecessores. Mas esse não é necessariamente o caso, pois existe a possibilidade de que tanto se perca hoje em dia por meio das dificuldades de interpretação associadas a uma formulação excessivamente complexa, ou por causa das imprecisões numéricas resultantes disso, quanto se perdeu antes por meio de simplificação excessiva. Idealmente, portanto, deveríamos buscar formular os problemas de uma forma que permita explorar o potencial da computação de alta velocidade sem sacrificar desnecessariamente a compreensão do problema. Em outras palavras, a formulação do problema é tão importante hoje quanto era no passado. O presente artigo tem como objetivo facilitar essa tarefa.

Considerações cinemáticas estão entre os principais fatores que complicam análises de veículos de via única, pois há uma série de questões bastante sutis que devem ser respondidas, explícita ou implicitamente, no curso da realização de tais análises. Entre elas estão as seguintes: Qual do ponto da roda está em contato com o solo quando o ângulo de direção ( $\textit{steering}$ ) e o ângulo de rolagem ( $\textit{roll}$ ) diferem de zero? Como a taxa de inclinação ( $\textit{yaw}$ ) é afetada pela taxa de rolagem e pela taxa de direção? Como as taxas de rotação das rodas estão relacionadas entre si? Quantos graus de liberdade um veículo de via única possui? Essas perguntas são respondidas explicitamente na sequência para um veículo que possui duas rodas, cada uma modelada como um toro rígido que rola sem escorregar em um suporte plano.

(A razão para considerar um toro, em vez de um disco fino, como tem sido feito pela maioria de outros autores, é que o raio do círculo gerador do toro é uma parte apreciável do raio da roda no caso de scooters. Além disso, a inclusão deste efeito não complica indevidamente as coisas.)

O artigo é organizado da seguinte forma: a seção $\textbf{2}$ contém uma descrição do veículo e as definições dos símbolos usados na análise que se segue. Na seção $\textbf{3}$ , cinco relações associadas ao fato de que ambas as rodas devem estar em contato com a superfície de suporte são derivadas. Cinco outras equações fundamentais são desenvolvidas na seção $\textbf{4}$ , levando em consideração o rolamento sem deslizamento. A seção $\textbf{5}$ trata brevemente da curva estável. Finalmente, uma discussão abrangente dos resultados é apresentada na seção $\textbf{6}$ .

Descrição do veículo

A Fig.1 é uma representação esquemática de um veículo de via única que consiste em um chassi $\textit{A}$ , garfo $\textit{B}$ , roda traseira $\textit{C}$ e roda dianteira $\textit{D}$ . O veículo é descrito geometricamente pelas constantes $a$ , $b$ , $r$ , $r'$ e $\theta$ .

A “configuração” do veículo é caracterizada pelo ângulo de caster ( $\textit{rake}$ ) $\sigma$ entre os planos centrais de $\textit{A}$ e $\textit{B}$ , e pelos ângulos de rotação das rodas $\gamma$ e $\delta$ . Para a configuração representada na Fig.1, $\sigma$ é igual a zero enquanto $\gamma$ e $\delta$ são positivos.

A orientação de $\textit{A}$ em um referencial “fixo” $\textit{N}$ depende de três ângulos gerados da seguinte forma: Sejam $\textbf{a}_1$ , $\textbf{a}_2$ e $\textbf{a}_3 = \textbf{a}_1 \times \textbf{a}_2$ um conjunto de vetores unitários ortonormais fixos em $\textit{A}$ , conforme mostrado na Fig.1, e sejam $\textbf{n}_1$ , $\textbf{n}_2$ e $\textbf{n}_3 = \textbf{n}_1 \times \textbf{n}_2$ um conjunto semelhante de vetores unitários fixos em $\textit{N}$ , com $\textbf{n}_1$ normal ao plano que suporta o veículo.

Em seguida, alinhe $\textbf{a}_i$ com $\textbf{n}_i$ ( $i = 1,2,3$ ) e então sujeite $\textit{A}$ sucessivamente a uma rotação $\textbf{a}_1$ de quantidade $\kappa$ , uma rotação $\textbf{a}_2$ de quantidade $\lambda$ , e uma rotação $\textbf{a}_3$ de quantidade $\mu$ realizando cada uma dessas rotações no sentido destro em torno de um eixo paralelo ao vetor unitário sob consideração em sua orientação atual. Os três ângulos são chamados de ângulo de guinada ( $\kappa$ ), ângulo de rolagem ( $\lambda$ ) e ângulo de inclinação ( $\mu$ ). Eles são mostrados na Fig.2, com $\textbf{a}_1$ , $\textbf{a}_2$ e $\textbf{a}_3$ em suas respectivas posições finais.

Fig.1: Representação esquemática do veículo.

Fig.2: Ângulos de guinada ( $\kappa$ ), rotação ( $\lambda$ ) e inclinação ( $\mu$ ).

Na sequência, será conveniente empregar três constantes além das já mencionadas. Estas são $d$ , $e$ e $f$ , definidas como $\dagger$

(1) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} d \Delta a + b \\ e \Delta (rs \theta - b c \theta)/d.\\ f \Delta (rs \theta - a c \theta)/d.\\ \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Restrições de contato

Se $P$ e $Q$ designam respectivamente os pontos de $C$ e $D$ que estão em contato com o plano de suporte quando $\kappa$ , $\lambda$ , $\mu$ e $\sigma$ têm valores gerais, então a localização de $P$ em relação a $A$ e a de $Q$ em relação a $B$ podem ser descritas em termos de dois ângulos.

$\dagger$ s $\theta$ e c $\theta$ são abreviações para sin $\theta$ e cos $\theta$ , respectivamente. Similarmente para s $\sigma$ , c $\sigma$ , etc.

Para $P$ , estes são $\alpha$ e $\alpha'$ , definidos como segue: Um plano que é normal ao plano central de $C$ e contém tanto $P$ quanto o centro $C^*$ de $C$ intercepta a superfície toroidal do pneu em um círculo centrado em um ponto $C'$ e tendo um raio $r'$ , como mostrado na Fig.3(a). $C'$ é mostrado novamente na Fig.3(b); e o ponto $S$ neste esboço está na linha que passa por $C^*$ e é paralela a $\textbf{a}_1$ . $\alpha$ é o ângulo entre as linhas $S - C^*$ e $C^* - C'$ , e $\alpha'$ é o ângulo entre a extensão da linha $C^* - C'$ e a linha $C' - P$ . Para $Q$ , os ângulos correspondentes são $\beta$ e $\beta'$ , como mostrado na Fig.4.

Fig.3: Localização do ponto de contato da roda traseira (P).

Fig.4: Localização do ponto de contato da roda dianteira (Q).

Os ângulos $\alpha$ , $\alpha'$ , $\beta$ , $\beta'$ , bem como o ângulo de inclinação $\mu$ dependem do ângulo de direção $\sigma$ e do ângulo de rolagem $\lambda$ . Para explorar essa dependência, pode-se introduzir vetores unitários $\textbf{a}$ e $\textbf{a}'$ como mostrado na Fig.3, e vetores unitários correspondentes $\textbf{b}$ e $\textbf{b}'$ como na Fig.4, e usá-los para investigar as consequências dos seguintes fatos: No ponto $P$ , a normal à superfície do pneu deve ser paralela a $\textbf{n}_1$ ; similarmente, no ponto $Q$ . Portanto

(2) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \textbf{a}' = - \textbf{n}_1, \textbf{b}' = -\textbf{n}_1. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

O vetor que une $P$ a $Q$ deve ser perpendicular a $\textbf{n}_1$ , o que significa que (ver Figs. ??, ?? e ??)

(3) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} (- r'\textbf{a}'- r\textbf{a} + a\textbf{a}_2 + b\textbf{b}_2 + r\textbf{b} + r'\textbf{b}') \cdot \textbf{n}_1 = 0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

ou, em vista da equação (2),

(4) $\begin{equation*} (- r\textbf{a} - a\textbf{a}_2 + b\textbf{a}_2+ b\textbf{b}_2 +r\textbf{b}) \cdot \textbf{n}_1 = 0. \end{equation*}$

Agora, $\textbf{a}$ , $\textbf{a}'$ , $\textbf{b}$ , $\textbf{b}'$ , $\textbf{b}_2$ e $\textbf{n}_1$ podem ser expressos em termos de $\textbf{a}_1'$ $\textbf{a}_2$ , $\textbf{a}_3$ ; e as equações (2) e (4) podem ser expressas como as sete equações escalares

(5) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} c\alpha' c\alpha - c\lambda c\mu = 0,\\ c\alpha' s\alpha - c\lambda s\mu = 0,\\ s\alpha' - s\lambda = 0, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(6) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} c\beta' \left\{ c\beta [c\sigma + c^2 \theta(1 - c\sigma)]+ s\beta s\theta c\theta(1 - c\sigma)\right\} \\ + s\beta' s\sigma s\theta - c\lambda c\mu = 0, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(7) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} c\beta' \left\{s\beta [c\sigma + s^2 \theta(1 - c\sigma)] + c\beta s\theta c\theta(1 - c\sigma)\right\} \\ - s\beta' s\sigma c\theta - c\lambda s\mu = 0, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(8) $\begin{equation*} c\beta' s\sigma(c\beta s\theta - s\beta c\theta) - s\beta' c\sigma + s\lambda = 0 \end{equation*}$

e

(9) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \{(b + rs\beta) s\theta c\theta(c\sigma - 1) + r c\alpha \\ - rc\beta[c\sigma + c^2 \theta(1 - c\sigma)\} c\lambda c\mu \\ - \{a + (b + r s\beta)[c\sigma + s^2 \theta(1 - c\sigma)] \\ - r s\alpha + r c\beta s\theta c\theta (1 - c\sigma)\} c\lambda s\mu \\ + [r c\beta s\theta - (b + r s\beta) c\theta] s\sigma s\lambda = 0. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Resolver essas equações explicitamente e exatamente para $\alpha$ , $\alpha'$ , $\beta'$ , $\beta'$ e $\mu$ como funções de $\lambda$ e $\sigma$ parece ser impossível. No entanto, uma solução aproximada fisicamente significativa pode ser obtida pelo raciocínio da seguinte forma: quando $\sigma = 0$ , todas as equações (5) – (9) são satisfeitas (para todos os $\lambda$ ) se

(10) $\begin{equation*} \alpha = 0, \hspace{2mm} \alpha' = \lambda, \hspace{2mm} \beta = 0, \beta' = \lambda, \hspace{2mm} \mu = 0. \end{equation*}$

Portanto, se $\alpha'$ e $\beta'$ são expressos como

(11) $\begin{equation*} \alpha' = \lambda + \varepsilon, \hspace{2mm} \beta' = \lambda + \eta \end{equation*}$

\noindent então, quando $\sigma$ é tão pequeno que todas as potências de a acima do primeiro são desprezíveis, as equações (5) – (8) podem ser substituídas por um sistema linear em $\alpha$ , $\beta$ , $\varepsilon$ , $\eta$ , $\mu$ e $\sigma$ , a saber

(12) $\begin{equation*} \varepsilon = 0, \alpha - \mu = 0, \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} \eta - \sigma s\theta = 0, \hspace{2mm} \beta - \mu - \sigma c\theta tan\lambda = 0, \hspace{2mm} \eta = \sigma s\theta = 0, \end{equation*}$

\noindent enquanto a equação (9) reduz com o auxílio das equações (1) para

(14) $\begin{equation*} \mu - e\sigma tan \lambda = 0. \end{equation*}$

Resolvendo essas equações para $\alpha$ , $\beta$ , $\varepsilon$ , $\eta$ e $\mu$ e usando as equações (11), chega-se a

(15) $\begin{equation*} \alpha = e\sigma tan \lambda, \hspace{2mm} \alpha' = \lambda, \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} \beta = f\sigma tan \lambda, \hspace{2mm} \beta' = \lambda + \sigma s\theta, \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} \mu = e\sigma tan \lambda. \end{equation*}$

Restrições de rolamento

Se ambas as rodas rolam sem deslizar em um plano fixo em $N$ , isto é, se tanto $P$ quanto $Q$ têm velocidade zero em $N$ , então as taxas de tempo de mudança dos ângulos de rotação da roda ( $\dot{\gamma}$ , $\dot{\delta}$ ), o ângulo de direção ( $\dot{\sigma}$ ), o ângulo de rolagem ( $\dot{\lambda}$ ) e o ângulo de guinada ( $\dot{\kappa}$ ) não são independentes entre si. De fato, $\dot{\delta}$ e $\dot{\kappa}$ podem ser considerados funções de $\dot{\gamma}$ , $\dot{\sigma}$ e $\dot{\lambda}$ , como será mostrado agora.

As velocidades dos centros $C^*$ e $D^*$ de $C$ e $D$ podem ser expressas como

(18) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \textbf{v}^{C*} = \boldsymbol{\omega}^C \times (-r'\textbf{a}' - r\textbf{a}), \\ \textbf{v}^{D*} = \boldsymbol{\omega}^D \times (-r'\textbf{b}' - r\textbf{b}), \end{aligned} \end{eqnarray*}$

\noindent onde $\boldsymbol{\omega}^C$ e $\boldsymbol{\omega}^D$ são, respectivamente, as velocidades angulares de $C$ e $D$ em $N$ ; e a velocidade do ponto $R$ (ver Fig. ??), um ponto fixo tanto em $A$ quanto em $B$ , é dada tanto por $\textbf{v}^{C^*} + \boldsymbol{\omega}^A \times (a\textbf{a}_2$ ) quanto por $\textbf{v}^{D^*} + \boldsymbol{\omega}^B \times (-\textbf{b}b_2 )$ . Igualando essas duas expressões e usando as equações (18), obtém-se

(19) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} a\boldsymbol{\omega}^A \times \textbf{a}_2 + b\boldsymbol{\omega}^B \times \textbf{b}_2 - \boldsymbol{\omega}^C \times (r'\textbf{a'} + r \textbf{a}) \\ + \boldsymbol{\omega}^D \times (r' \textbf{b'} + r \textbf{b}) = 0. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Para formular equações escalares adequadas correspondentes a esta equação vetorial, é conveniente primeiro observar que

(20) $\begin{equation*} \boldsymbol{\omega}^B = \boldsymbol{\omega}^A - \dot{\sigma}(c\theta \textbf{b}_1 - s\theta \textbf{b}_2), \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} \boldsymbol{\omega}^C = \boldsymbol{\omega}^A + \dot{\gamma}\textbf{a}_3, \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} \boldsymbol{\omega}^D = \boldsymbol{\omega}^A - \dot{\sigma}(c\theta b_1 - s\theta \textbf{b}_2) + \dot{\delta}\textbf{b}_3 \end{equation*}$

\noindent para que a equação (19) possa ser reescrita como (lembre-se de que $\textbf{a}' = \textbf{b}'$ )

(23) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^A \times (r\textbf{b} - r\textbf{a} + a\textbf{a}_2 + b\textbf{b}_2) + \dot{\delta}\textbf{b}_3 \times (r\textbf{b} + r'b') \\ - \dot{\gamma}\textbf{a}_3 \times (r\textbf{a} + r'\textbf{a}') - \dot{\sigma}(c\theta \textbf{b}_1 - s\theta \textbf{b}_2) \\ \times (r\textbf{b} + r'\textbf{b}' + b\textbf{b}_2) = 0. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Próximo,

(24) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^A = (\dot{\lambda} s\mu + \dot{\kappa} c\lambda s\mu)\textbf{a}_1 \\ + (\dot{\lambda} c\mu - \dot{\kappa} c\lambda s\mu)\textbf{a}_2 + (\dot{\mu} + \dot{\kappa} s\lambda) \textbf{a}_3 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

\noindent ou, após a eliminação de $\mu$ pelo uso da equação (17) e subsequente linearização em $\sigma$ ,

(25) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^A = (\dot{\kappa} c\lambda + \dot{\lambda} e\sigma tan\lambda)\textbf{a}_1 + (\dot{\lambda} - \dot{\kappa}e\sigma s\lambda)\textbf{a}_2\\ + (\dot{\kappa} s\lambda + \dot{\lambda} e \sigma sec^2 \lambda + \dot{\sigma}e tan \lambda) \textbf{a}_3. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

As multiplicações cruzadas indicadas na equação (23) podem agora ser realizadas após se ter expressado todos os vetores unitários em termos de $\textbf{a}_1$ , $\textbf{a}_2$ , $\textbf{a}_3$ . Usando as equações (15) e (16), e linearizando novamente em $\sigma$ , descobre-se então com o auxílio das equações (1) que a suposição de rolar sem deslizar leva às três equações seguintes:

(26) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\kappa}(d + r c\theta \sigma tan \lambda) s\lambda \\ + (\dot{\lambda} de \sigma tan \lambda + \dot{\sigma}de + \dot{\delta}rf\sigma - \dot{\gamma}re\sigma) tan \lambda \\ + r'[(\dot{\delta}f - \dot{\gamma}e)\sigma + \dot{\sigma} s\theta] s\lambda = 0, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(27) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\kappa}(d + r c\theta \sigma tan \lambda) c\lambda + \dot{\lambda} de \sigma tan \lambda + \dot{\sigma}de \\ + \dot{\delta}r c\theta \sigma + r'(\dot{\delta} c\theta \sigma + \dot{\sigma} s\theta) c\lambda =0, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(28) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\kappa}de\sigma c\lambda + r(\dot{\delta} - \dot{\gamma}) \\ + r'[\dot{\delta}(c\lambda - \sigma s\theta s\lambda) - \dot{\gamma} c\lambda + \dot{\sigma} c\theta \lambda] = 0. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Existem agora duas possibilidades: $\lambda = 0$ , caso em que a equação (26) é satisfeita de forma idêntica, enquanto as equações (27) e (28) tornam-se, respectivamente,

(29) $\begin{equation*} \dot{\kappa}d + \dot{\sigma}de + \dot{\delta}r c\theta \sigma + r'(\dot{\delta} c\theta \sigma + \dot{\sigma} s\theta) = 0, \end{equation*}$

(30) $\begin{equation*} \dot{\kappa}de\sigma + (\dot{\delta} - \dot{\gamma})(r + r') = 0, \end{equation*}$

Resolvendo a equação (30) para $\dot{\delta}$ , substituindo o resultado na equação (29) e linearizando em $\sigma$ , chega-se a uma expressão para $\dot{\kappa}$ , e a equação (30) pode então ser usada para encontrar $\dot{\delta}$ :

(31) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\delta} = \dot{\gamma},\\ \dot{\kappa} = - [\dot{\sigma}(e + r' s\theta d^{-1}) + \sigma\dot{\gamma}(r + r')c\theta d^{-1}]. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Alternativamente, se $\lambda \ne 0$ , a divisão da equação (26) por $tan \lambda$ é permitida e produz

(32) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\kappa}(d + r c\theta \sigma tan \lambda) c\lambda + \dot{\lambda}de \sigma tan \lambda \\ + \dot{\sigma}de + \dot{\delta}rf\sigma - \dot{\gamma}re\sigma \\ + r'[(\dot{\delta}f - \dot{\gamma}e)\sigma + \dot{\sigma} s\theta]c\lambda = 0. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Agora, segue-se da multiplicação da equação (28) com $\sigma$ que $\dot{\gamma}\sigma = \dot{\delta}\sigma$ ; e, quando $\dot{\gamma}\sigma$ é eliminado da equação (32) por meio desta substituição, e é notado que $f - e = c\theta$ em virtude das equações (1), parece que a equação (32) é, de fato, equivalente à equação (27). Assim, o requisito de que não haja deslizamento em $P$ e $Q$ é visto como satisfeito sempre que as equações (27) e (28) sejam satisfeitas; e a solução dessas equações produz (após linearização em $\sigma$ )

(33) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\delta} = \dot{\gamma}[1 + \sigma r' s\lambda(r + r' c\lambda)^{-1} s\theta] \\ - \dot{\sigma} r' s\lambda(r + r' c\lambda)^{-1} c\theta, \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(34) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{\kappa} = [\dot{\lambda}\sigma e tan\lambda + \dot{\sigma}(e + r' c\lambda s\theta d^{-1}) \\ + \dot{\gamma}\sigma(r + r' c\lambda) c\theta d^{-1}]sec \lambda. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Estes resultados, embora tenham sido obtidos sujeitos à exigência de que $\lambda$ seja diferente de zero, são válidos também quando $\lambda$ desaparece, pois reduzem-se às equações (31) quando $\lambda$ é igualado a zero.

Até o momento, nenhuma menção foi feita à localização de qualquer ponto do veículo em relação ao referencial $N$ . Ou seja, nenhuma coordenada de posição foi introduzida. Este tópico foi adiado para enfatizar o fato de que todos os desenvolvimentos anteriores são totalmente independentes desta questão.

Se $O$ é um ponto fixo no referencial $N$ , o vetor posição de $C^*$ em relação a $O$ e a velocidade de $C^*$ podem ser expressos, respectivamente, como

(35) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \textbf{p} = x_1 \textbf{n}_1 + x_2 \textbf{n}_2 + x_3 \textbf{n}_3, \\ \textbf{v}^{C^*} = \dot{x_1}\textbf{n}_1 + \dot{x_2}\textbf{n}_2 + \dot{x_3}\textbf{n}_3. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Entretanto, $\textbf{v}^{C^*}$ também é dado pela primeira das equações (18). Igualando as duas expressões para $\textbf{v}^{C^*}$ , referindo-se às equações (21) e (24), usando a equação (34) para eliminar $\dot{\kappa}$ , e expressando todos os vetores em termos de $\textbf{n}_1$ , $\textbf{n}_2$ , $\textbf{n}_3$ , obtém-se (após uma quantidade considerável de álgebra) as seguintes equações diferenciais:

(36) $\begin{equation*} \dot{x_1} = -r\dot{\lambda} s\lambda, \end{equation*}$

(37) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{x_2} = \dot{\lambda}(r c\lambda + r')(e\sigma c\kappa sec\lambda + s\kappa) - \dot{\sigma}(b/d)r' c\theta c\kappa s\lambda \\ + \dot{\gamma} c\kappa[r + r' c\lambda - \sigma tan \lambda(r/d)(r + r'c\lambda) c\theta], \end{aligned} \end{eqnarray*}$

(38) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \dot{x_3} = \dot{\lambda}(r c\lambda + r')(e\sigma s\kappa sec\lambda + c\kappa) - \dot{\sigma}(b/d)r' c\theta s\kappa s\lambda \\ + \dot{\gamma} s\kappa[r + r' c\lambda - \sigma tan \lambda(r/d)(r + r'c\lambda) c\theta]. \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Giro estável

Diz-se que o veículo está em uma curva estável quando está se movendo de tal forma que o ângulo de direção $\sigma$ , o ângulo de rolagem $\lambda$ e a taxa de rotação da roda traseira $\dot{\gamma}$ têm valores constantes, digamos $\hat{\sigma}$ , $\hat{\lambda}$ e $\hat{\dot{\gamma}}$ . Nessas circunstâncias, segue das equações (17), (33) e (34) que $\mu$ , $\dot{\delta}$ e $\kappa$ também têm valores constantes, digamos $\dot{\mu}$ , $\hat{\dot{\delta}}$ e $\hat{\dot{\kappa}}$ , com

(39) $\begin{equation*} \hat{\dot{\kappa}} = -\hat{\dot{\gamma}}\hat{\sigma}(r + r' c\hat{\lambda})d^{-1} c\theta sec \hat{\lambda}. \end{equation*}$

Além disso, o centro $C^*$ de $C$ move-se num círculo cujo raio $\rho$ pode ser encontrado aproveitando o fato de que a velocidade de $C^*$ é agora dada tanto por $\rho \hat{\dot{\kappa}} \boldsymbol{\tau}$ , onde $\boldsymbol{\tau}$ é um vetor unitário tangente ao círculo, quanto pelo membro direito da segunda das equações (35), de modo que, em vista das equações (36) – (39),

(40) $\begin{eqnarray*} \begin{aligned} -\rho \hat{\dot{\gamma}}\hat{\sigma}(r + r' c\hat{\lambda})d^{-1} c\theta sec \hat{\lambda}\boldsymbol{\tau} \\ = \hat{\dot{\gamma}}[r + r' c\hat{\lambda} - \hat{\sigma} tan \hat{\lambda}rd^{-1}(r + r' c\lambda) c\theta] \\ \times (c\kappa \textbf{n}_2 + s\kappa \textbf{n}_3). \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Igualando as magnitudes dos vetores nos membros esquerdo e direito desta equação, chega-se a

(41) $\begin{equation*} \rho = |d c\hat{\lambda} sec \theta \hat{\sigma}^{-1} - r s \hat{\lambda}|. \end{equation*}$

Discurssão

Os principais resultados analíticos obtidos nas seções anteriores são as equações (15) – (17), (33), (34), (36) – (39) e (41). Todas elas são aproximadas por natureza, pois sua derivação envolveu o requisito de que $\sigma$ seja pequeno. No entanto, essa restrição não prejudica sua utilidade significativamente, pois (como será mostrado mais tarde) até mesmo curvas bastante fechadas podem ser executadas com um ângulo bem pequeno, digamos menor que 15°, desde que $\lambda$ seja irrestrito; e nenhuma restrição foi colocada em $\lambda$ . Os benefícios derivados da exigência de que $\sigma$ seja pequeno são, é claro, notáveis: o caráter explícito e a relativa simplicidade das equações citadas são consequências diretas da linearização em $\sigma$ . Além disso, essas equações serviriam a um propósito útil mesmo no caso improvável de que se exigissem resultados mais exatos, pois seria possível usá-las para realizar uma solução iterativa das equações (5) – (9) e versões não linearizadas das equações (26) – (28).

As equações (15) – (17) mostram que, em geral, os pontos de contato $P$ e $Q$ (ver Figuras Fig.3 e Fig.4) deslocam-se respectivamente em relação ao chassi $A$ e ao garfo $B$ , e o ângulo de passo $\mu$ muda, sempre que ocorre uma alteração no ângulo de direção $\sigma$ ou no ângulo de rolagem $\lambda$ . Esta regra tem uma exceção no que diz respeito ao ângulo de passo: uma vez que $e$ (ver equações (1)) pode ser feito desaparecer escolhendo $r$ , $b$ e $\theta$ tais que $r s\theta - b c\theta = 0$ , é possível fazer $\mu$ igual a zero para \textit{todos} $\sigma$ e $\lambda$ . Este fato pode ser reafirmado de uma forma interessante trazendo uma quantidade chamada “trail” para a discussão, esta quantidade sendo definida como a distância $t$ entre os pontos $T$ e $U$ na Fig.5, onde $T$ é o ponto de contato da roda dianteira com o plano de apoio quando $\sigma = \lambda = 0$ , e $U$ é o ponto de intersecção deste plano e do eixo de rotação do garfo $B$ . Assim,

Fig.5: Trail (t).

(42) $\begin{equation*} t = (r + r') tan \theta - b \end{equation*}$

\noindent e, resolvendo para $b$ e substituindo na segunda das equações (1), pode-se expressar $e$ como

(43) $\begin{equation*} e = (t c\theta - r' s\theta) d^{-1}. \end{equation*}$

Consequentemente, $\mu$ desaparece para todos os $\sigma$ e $\lambda$ se t tem um valor $t^*$ dado por

(44) $\begin{equation*} t^* = r' tan \theta. \end{equation*}$

A quantidade $e$ tem um efeito direto também na taxa de guinada $\dot{\kappa}$ , como pode ser visto na equação (34). Se $e = 0$ , $\dot{\kappa}$ não é afetado pela taxa de rolagem $\dot{\lambda}$ . A importância relativa desse efeito cresce à medida que a velocidade do veículo diminui $s$ , ou seja, quando a taxa de rotação da roda traseira $\dot{\gamma}$ se torna pequena.

Em grande parte do trabalho sobre o assunto de veículos de via única, assume-se que as taxas de rotação das rodas traseiras e dianteiras, $\dot{\gamma}$ e $\dot{\delta}$ , são iguais entre si. A equação (33) mostra que isso ocorre apenas em circunstâncias especiais, por exemplo, quando $\sigma$ e $\dot{\sigma}$ desaparecem ou quando $\lambda = 0$ . De fato, parece que qualquer uma dessas taxas pode diferir de zero, enquanto a outra é igual a zero. Vale a pena notar que essas conclusões não teriam sido alcançadas se cada roda tivesse sido modelada como um disco fino, em vez de um toro, ou seja, se $r'$ tivesse sido deixado de fora.

A possibilidade de executar uma curva estável de raio relativamente pequeno usando um pequeno ângulo de direção pode ser estabelecida por referência à equação (41). Por exemplo, suponha que $r = 12$ pol., $d = 42$ pol. e $\theta = 20$ °, sendo estes valores representativos para uma bicicleta. Então, um ângulo de direção de $10$ ° combinado com um ângulo de rolagem de $15$ ° produz um raio de curva de cerca de $20$ ft, e isso pode ser reduzido para apenas $13$ ft aumentando o ângulo de direção para o modesto valor de $15$ °. Além disso, se o ângulo de rolagem for aumentado para $45$ °, que é um valor grande, mas não irreal, um raio de curva de $9$ ft é obtido com o mesmo ângulo de direção. Como para $\sigma = 15$ ° o erro na substituição de $s\sigma$ por $\sigma$ é de apenas cerca de $1$ por cento de $s\sigma$ , a presente teoria parece ser inteiramente adequada para fins práticos.

Ainda sobre o assunto de curvas estáveis, vale a pena notar que todas as afirmações feitas até agora são válidas independentemente da velocidade do veículo. Isso não quer dizer, no entanto, que a satisfação da equação (41) garanta a possibilidade de executar uma curva estável sob consideração a uma velocidade pré-atribuída. Em outras palavras, a equação (41) é uma condição necessária, mas não suficiente, para uma curva estável. Certas condições decorrentes de considerações dinâmicas devem ser satisfeitas além da equação (41) se uma dada curva estável for fisicamente possível.

Embora apenas tópicos puramente cinemáticos tenham sido discutidos até agora, os resultados obtidos podem ser especialmente úteis em conexão com análises dinâmicas. Por exemplo, se equações de movimento devem ser escritas apelando para um princípio de Lagrange, que frequentemente é uma opção atraente porque facilita a eliminação de forças de restrição, então coordenadas generalizadas devem ser designadas e uma determinação do número de graus de liberdade deve ser feita. Essas são questões que não podem ser resolvidas de uma vez por todas, pois sua disposição depende dos objetivos da análise em questão. No entanto, considerações semelhantes se aplicam a todos os casos. Por exemplo, suponha que fosse desejado estudar movimentos que podem ocorrer quando a roda traseira é feita para girar em relação a $A$ com uma velocidade angular prescrita como uma função do tempo enquanto um torque, também prescrito como uma função do tempo, é aplicado ao garfo $B$ por um piloto presumivelmente imóvel em relação a $A$ .

Em termos de símbolos usados anteriormente, o problema seria descobrir a dependência temporal $\sigma$ , $\delta$ , $\kappa$ , $\lambda$ , $\mu$ , $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Isso não significa, no entanto, que todas essas oito variáveis devem ser tratadas como coordenadas generalizadas, pois $\mu$ pode ser eliminado usando a equação (17), e a equação (36) é facilmente integrável, produzindo

(45) $\begin{equation*} x_1 = r(c\lambda - c\tilde{\lambda}) + \tilde{x}_1 \end{equation*}$

$\noindent$ onde $\tilde{\lambda}$ e $\tilde{x}_1$ são os valores das respectivas variáveis sem um instante particular. As seis variáveis que permanecem após $\mu$ e $\tilde{x}_1$ terem sido eliminadas podem ser consideradas coordenadas generalizadas, mas como quatro equações diferenciais de restrição não integráveis ainda precisam ser levadas em conta, a saber, equações (33), (34), (37) e (38), apenas duas equações dinâmicas de movimento precisam ser escritas se uma formulação aplicável a sistemas não holonômicos $^1$ for empregada. Em resumo, pode-se proceder da seguinte forma. Após eliminar $\mu$ e $\tilde{x}_1$ por referência às equações (17) e (45), escreva equações de movimento de Lagrange (aplicáveis a um sistema não holonômico) para as coordenadas generalizadas $\sigma$ e $\lambda$ , e integre-as simultaneamente com as equações (33), (34), (37) e (38).

Pode-se dizer que o exemplo recém citado está no meio do caminho entre os extremos que se pode esperar encontrar. Ou seja, uma vez que as equações (17), (33), (34) e (36) – (38) devem ser satisfeitas em todos os casos, nunca é necessário escrever mais do que três equações dinâmicas de movimento, e pode ser suficiente escrever apenas uma.

Finalmente, pode valer a pena mencionar que o fato de um motociclista ter entrado na discussão anterior apenas perifericamente não tem implicações negativas quanto à relevância dos resultados apresentados para análises envolvendo interações complicadas entre motociclista e veículo. Pelo contrário, esses resultados afetam diretamente cada uma dessas análises e, portanto, devem ser levados em consideração.

NOTAÇÕES

$A$ – chassi

$B$ – garfo

$C$ – roda traseira

$D$ – roda dianteira

$a$ – dimensão de quadro

$b$ – dimensão do garfo

$r$ – raio da linha central do pneu

$r'$ & raio da seção transversal do pneu

$\theta$ – ângulo de caster ( $\textit{rake}$ )

$\sigma$ – ângulo de direção ( $\textit{steering}$ )

$\gamma$ – ângulo de rotação da roda traseira

$\delta$ – ângulo de rotação da roda dianteira

$\textbf{a}_1$ , $\textbf{a}_2$ , $\textbf{a}_3$ – vetores unitários fixos em $A$

$\textbf{b}_1$ , $\textbf{b}_2$ , $\textbf{b}_3$ – vetores unitários fixos em $B$

$\textbf{n}_1$ , $\textbf{n}_2$ , $\textbf{n}_3$ – vetores unitários fixos em $N$

$\kappa$ – ângulo de rotação

$\lambda$ – ângulo de giro

$\mu$ – ângulo de inclinação

$b$ – distância entre eixos

$e$ – parâmetro fork

$f$ – parâmetro do chassi

$P, Q$ – pontos de contato da roda

$R$ : – ponto fixo em $A$ e $B$

$\alpha, \alpha'$ – coordenadas angulares de $P$

$\beta, \beta'$ – coordenadas angulares de $Q$

$C^*, C^*$ – centros de $C$ , $D$

$S$ , $T$ – pontos em $C$ , $D$

$\textbf{a}, \textbf{a}'$ – vetores unitários usados para localizar $P$

$\textbf{b}, \textbf{b}'$ – vetores unitários usados para localizar $Q$

$\varepsilon$ , $\eta$ – perturbação de $\alpha'$ , $\beta'$

$\textbf{v}^{C^*}$ , $\textbf{v}^{D^*}$ – velocidades de $C^*, D^*$

$\boldsymbol{\omega}^A$ , $\boldsymbol{\omega}^B$ , $\boldsymbol{\omega}^C$ ,

$\boldsymbol{\omega}^D$ – velocidades angulares de $A$ , $B$ , $C$ , $D$

$O$ – ponto fixo em $N$

$\textbf{p}^*$ – vetor posição de $C^*$ em relação a $O$

$x_1$ , $x_2$ , $x_3$ – coordenadas de $C^*$

$\rho$ – raio de giro constante

$t$ – trail

$t^*$ – valor especial constante de $t$

Referências
[1] ROLAND, R. D. “J. Mech. Engng Sci”, (1971), p. 316.
[2] WHIPPLE, F. J. W. “Qt. J. Pure Appl. Math.”, 30, (1899), p. 312.
[3] BOWER, G. S. “Automobile Engnr”. Em: V, (1915), p. 280.
[4] PEARSALL, R. H. “Proc. Inst. Automobile Engnr”. Em: XVII (1922), p. 395.
[5] WILSON-JONES, R. A. “Proc. Inst. Mechanical Engineers, Automobile Division”, (1951-2), pp. 191–199.
[6] SHARP, R. S. “J. Mech. Engng Sci”, 13, (1971), p. 316.
[7] ROLAND, R. D. “Mechanics and Sport”, American Society of Mechanical Engineers NewYork (1973), pp. 35–52.
[8] HUSTON, R. L. e PASSERELLO, C. E. “Matrix & Tensor Qt.”, (1973), pp. 109–112.

10 de fevereiro de 2025
Pêndulo Duplo

Equações de Movimento e de Lagrange

Para o pêndulo duplo mostrado na figura, as barras de ligações 1 e 2 (barras $OA$ e $BC$ ) são homogêneas e têm os comprimentos $OA = L_1 = L = 1 m$ , $AB = L_2 = L = 1$ e as massas $m_{OA} = m_1 = m = 1 kg$ , o $m_{AB} = m_2 = m = 1 kg$ . Em $O$ e $A$ há pinos nas juntas. Os centros de massa das ligações 1 e 2 são $C_1$ e $C_2$ . Localize e resolva as Equações de Lagrange e de movimento se o duplo pêndulo é liberado a partir do repouso quando os ângulos dos elos 1 e 2 em relação a vertical são $\frac{\pi}{18}$ e $\frac{\pi}{6}$ .

Solução:

Para caracterizar a configuração do sistema, são empregados duas coordenadas generalizadas ${\theta_1} (t)$ e ${\theta_1}(t)$ . A coordenada ${\theta_1}$ é a medida do ângulo em radianos do entre o eixo vertical e o elo 1 e ${\theta_2}(t)$ é a medida do ângulo de rotação em radianos entre o elo 2 e a direção vertical. O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de $C_1$ do elo 1 pode ser escrito como

(1) $\begin{equation*} {\bf r}_{C_1}=\frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} + \frac{1}{2}L cos (\theta_1) {\bf j} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} {\bf v}_{C_1}= \frac{d{\bf r}_{C_1}}{dt} = {{\bf \dot{r}}_{C_1}} = \frac{1}{2}L \dot{\theta_1} cos (\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2} \dot{\theta_1} sen(\theta_1) {\bf j} \end{equation*}$

O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de $C_2$ do elo 2 pode ser escrito como

(3) $\begin{equation*} {\bf r}_{C_2}=\left[L sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L sen (\theta_2)\right]{\bf i} + \left[L cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L cos (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} {\bf v}_{C_2}=\frac{d{\bf r}_{C_2}}{dt} = \left[L \dot{\theta_1} cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} cos (\theta_2)\right]{\bf i} - \left[L \dot{\theta_1}sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} sen (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}$

As energias cinéticas da ligações 1 e 2 são

(5) $\begin{equation*} K_1 = \frac{1}{2}I_{O}\dot{\theta_1}^2 = \frac{1}{2} \frac{m_{1} L^2}{3}\dot{\theta_1}^2 = \frac{mL^2}{6}\dot{\theta_1}^2 \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2}I_{C_2}\dot{\theta_2}^2 = \frac{1}{2} m_2 {\bf v}_{C_2} \cdot {\bf v}_{C_2} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2} \frac{mL^2}{12}\dot{\theta_2}^2 + \frac{1}{2}m \left[L^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{4}L^2\dot{\theta_2}^2 + L^2\dot{\theta_1} \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)\right] \end{equation*}$

onde $I_O$ é o momento de inércia em torno do centro de rotação de O, e $I_{C_2}$ é o momento de inércia em torno do centro de massa ${C_2}$

A energia cinética total do sistema é

(8) $\begin{equation*} K = K_1 + K_2 = \frac{mL^2}{6}[4 \dot{\theta_1}^2 + 3 \dot{\theta_1}\dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) + \dot{\theta_2}^2] \end{equation*}$

O lado esquerdo da equação de Lagrange é

(9) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{6}[8 \dot{\theta_1} + 3 \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)] \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) = \frac{mL^2}{6}[8 \ddot{\theta_1} + 3 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_2}(\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) ] \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} (\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = \frac{mL^2}{6}[3 \dot{\theta_1} cos(\theta_2 - \theta_1) + 2 \dot{\theta_1}] \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) = \frac{mL^2}{6}[3 \ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_1} (\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) +2 \ddot{\theta_2}] \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = -\frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}$

As forças gravitacionais sobre as ligações 1 e 2 no centros de massa $C_1$ e $C_2$ são

(15) $\begin{equation*} {\bf G}_1 = m_1 g {\bf j} \;\; e \;\; {\bf G}_1 = m_2 g {\bf j} \end{equation*}$

Existem duas forças generalizadas associadas a ${\theta_1}$ e ${\theta_2}$ são

(16) $\begin{eqnarray*} F_1 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_1} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_1}\\ &=& mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} \right]+ \;\;\;\;\;\;\;\;\ \\ &+& mg {\bf j} \cdot [L cos(\theta_1) {\bf i} - L sen (\theta_1) {\bf i}]\\ &=& -\frac{3}{2}mg L sen(\theta_1) \end{eqnarray*}$

(17) $\begin{eqnarray*} F_2 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_2} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_2}\\ &=& mg {\bf j}\cdot 0 + mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_2) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_2) {\bf i} \right]\\ &=& -\frac{1}{2}mg L sen(\theta_2) \end{eqnarray*}$

As equações de Lagrange são escritas como

(18) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_1}} = F_1 \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_2}} = F_2 \end{equation*}$

e as equações de movimento pode ser escrita como

(20) $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}mL^2\ddot{\theta_1}+ \frac{1}{2}L^2 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{3}{2}mg L sen \dot{\theta_1}=0\\ \frac{1}{2}mL^2\ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) + \frac{1}{3}L^2 \ddot{\theta_2} + \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_1}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{1}{2}mg L sen \dot{\theta_2}=0 \end{eqnarray*}$

3 de fevereiro de 2025
Mecanismo de 4 barras

Formulação

O ângulo $\theta_1$ é igual a 180º, o ângulo entre $BA$ e $CB$ é de 90º. $\theta_2$ é o ângulo entre os vetores $OA$ e $CO$ e representa um dado de entrada. A soma dos ângulos no ponto B é: $\theta_3$ + (180º – $\theta_4$ ) + 90º = 360º, então $\theta_3$ = 90º + $\theta_4$ .

Figura 1: Configuração do vetor.

O polígono formado pelos vetores na Figura 1 pode ser descrito por:

(1) $\begin{equation*} CO + OA = CB + BA \rightarrow CO + OA - CB - BA = 0 \end{equation*}$

Decompondo Eq. (1), torna-se:

(2) $\begin{equation*} L_1cos \theta_1 + L_2cos \theta_2 - L_3cos \theta_3 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} L_1sin\theta_1 + L_2sin \theta_2 - L_3sin \theta_3 - L_4sin \theta_4 = 0 \end{equation*}$

Substituindo $\theta_1$ e $\theta_3$ , temos:

(4) $\begin{equation*} -L_1 + L_2cos \theta_2 + L_3sin\theta_4 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} L_2sin \theta_2 - L_3cos \theta_4 - L_4sin \theta_4 = 0 \end{equation*}$

O valor de $L_3$ vem da Eq. (5) em função dos dados de entrada $\theta_2$ , $L_2$ e $L_4$ :

(6) $\begin{equation*} L_3 = \frac{L_2sin \theta_2 - L_4sin \theta_4}{cos \theta_4} \end{equation*}$

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (4):

(7) $\begin{equation*} -L_1 + L_2cos\theta_2 + \left(\frac{L_2sin \theta_2 - L_4sin \theta_4}{cos \theta_4}\right)sin\theta_4 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

Simplificando, temos:

(8) $\begin{equation*} (L_2sin \theta_2 - L_1)cos\theta_4 + L_2cos\theta_2sin\theta_4 - L_4= 0 \end{equation*}$

O ângulo $\theta_4$ é determinado considerando os seguintes relações trigonométricas na Eq. (8):

(9) $\begin{equation*} \nonumber cos\theta_4 = \frac{ 1 - tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \nonumber sin\theta_4 = \frac{ 2tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} (L_2sin \theta_2 - L_1)\frac{ 1 - tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} + L_2cos\theta_2\frac{ 2tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} - L_4= 0 \end{equation*}$

Simplificando, teremos:

(12) $\begin{equation*} (L_1 - L_2cos\theta_2 - L_4)tan^2\left(\frac{\theta_4}{2}\right) + (2L_2sin\theta_2)tan\left(\frac{\theta_4}{2}\right) +(L_2cos\theta_2 - L_1 - L_4) = 0 \end{equation*}$

Os coeficientes do polinômio do segundo grau da Eq. (13) são:

$A = (L_1 - L_2cos\theta_2 - L_4)$

$B = (2L_2sin\theta_2)$

$C = (L_2cos\theta_2 - L_1 - L_4) = 0$

Então $\theta_4$ é dado por:

(13) $\begin{equation*} \theta_4 = \pm 2tan^{-1}\left(\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\right) \end{equation*}$

30 de janeiro de 2025
Vamos Pensar um Pouco

Vou tentar depois….

30 de janeiro de 2025
Olá, mundo!

Boas-vindas ao WordPress. Esse é o seu primeiro post. Edite-o ou exclua-o, e então comece a escrever!

29 de janeiro de 2025

Fenômeno	Equação
Força no flange	$\vec{F} = - (\rho v^2 + p) A (\hat{i} + \hat{j})$
Torque	$\vec{T} =- (\rho v^2 + p) r A \hat{k}$
Perda de pressão	$\Delta p=f \frac{L}{D} \frac{\rho v^2}{2}$
Dilatação térmica	$\Delta L = \alpha L \Delta T$
Tensão térmica	$\sigma = E \alpha \Delta T$

Blog

Escoamento em um duto com curva de 90°

1. Definição do Problema

2. Equações

2.1. Conservação da Massa:

2.2. Conservação da Quantidade de Movimento Linear:

2.3. Caso com Variação de Área ou Velocidade

3. Conservação do Momento Angular

3.1. Momento Torsor (Torque) no Flange

4. Ajustes para Cenários Reais

Perdas por Atrito e Queda de Pressão

Distribuição Não Uniforme de Pressão

Turbulência e Vórtices

Variação de Área ou Velocidade

Efeitos Dinâmicos Transiente

Variação das Propriedades do Fluido com a Temperatura

Dilatação Térmica do Duto

Convecção Natural

Força e Torque com Efeitos Térmicos

Recomendações para Projeto

Formulação