Formulação

O ângulo $\theta_1$ é igual a 180º, o ângulo entre $BA$ e $CB$ é de 90º. $\theta_2$ é o ângulo entre os vetores $OA$ e $CO$ e representa um dado de entrada. A soma dos ângulos no ponto B é: $\theta_3$ + (180º – $\theta_4$ ) + 90º = 360º, então $\theta_3$ = 90º + $\theta_4$ .

O polígono formado pelos vetores na Figura 1 pode ser descrito por:

(1) $\begin{equation*} CO + OA = CB + BA \rightarrow CO + OA - CB - BA = 0 \end{equation*}$

Decompondo Eq. (1), torna-se:

(2) $\begin{equation*} L_1cos \theta_1 + L_2cos \theta_2 - L_3cos \theta_3 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} L_1sin\theta_1 + L_2sin \theta_2 - L_3sin \theta_3 - L_4sin \theta_4 = 0 \end{equation*}$

Substituindo $\theta_1$ e $\theta_3$ , temos:

(4) $\begin{equation*} -L_1 + L_2cos \theta_2 + L_3sin\theta_4 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} L_2sin \theta_2 - L_3cos \theta_4 - L_4sin \theta_4 = 0 \end{equation*}$

O valor de $L_3$ vem da Eq. (5) em função dos dados de entrada $\theta_2$ , $L_2$ e $L_4$ :

(6) $\begin{equation*} L_3 = \frac{L_2sin \theta_2 - L_4sin \theta_4}{cos \theta_4} \end{equation*}$

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (4):

(7) $\begin{equation*} -L_1 + L_2cos\theta_2 + \left(\frac{L_2sin \theta_2 - L_4sin \theta_4}{cos \theta_4}\right)sin\theta_4 - L_4cos \theta_4 = 0 \end{equation*}$

Simplificando, temos:

(8) $\begin{equation*} (L_2sin \theta_2 - L_1)cos\theta_4 + L_2cos\theta_2sin\theta_4 - L_4= 0 \end{equation*}$

O ângulo $\theta_4$ é determinado considerando os seguintes relações trigonométricas na Eq. (8):

(9) $\begin{equation*} \nonumber cos\theta_4 = \frac{ 1 - tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \nonumber sin\theta_4 = \frac{ 2tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} (L_2sin \theta_2 - L_1)\frac{ 1 - tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} + L_2cos\theta_2\frac{ 2tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)}{1 + tan^2 \left(\frac{\theta_4}{2}\right)} - L_4= 0 \end{equation*}$

Simplificando, teremos:

(12) $\begin{equation*} (L_1 - L_2cos\theta_2 - L_4)tan^2\left(\frac{\theta_4}{2}\right) + (2L_2sin\theta_2)tan\left(\frac{\theta_4}{2}\right) +(L_2cos\theta_2 - L_1 - L_4) = 0 \end{equation*}$