Pêndulo Duplo

Equações de Movimento e de Lagrange

Para o pêndulo duplo mostrado na figura, as barras de ligações 1 e 2 (barras $OA$ e $BC$ ) são homogêneas e têm os comprimentos $OA = L_1 = L = 1 m$ , $AB = L_2 = L = 1$ e as massas $m_{OA} = m_1 = m = 1 kg$ , o $m_{AB} = m_2 = m = 1 kg$ . Em $O$ e $A$ há pinos nas juntas. Os centros de massa das ligações 1 e 2 são $C_1$ e $C_2$ . Localize e resolva as Equações de Lagrange e de movimento se o duplo pêndulo é liberado a partir do repouso quando os ângulos dos elos 1 e 2 em relação a vertical são $\frac{\pi}{18}$ e $\frac{\pi}{6}$ .

Solução:

Para caracterizar a configuração do sistema, são empregados duas coordenadas generalizadas ${\theta_1} (t)$ e ${\theta_1}(t)$ . A coordenada ${\theta_1}$ é a medida do ângulo em radianos do entre o eixo vertical e o elo 1 e ${\theta_2}(t)$ é a medida do ângulo de rotação em radianos entre o elo 2 e a direção vertical. O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de $C_1$ do elo 1 pode ser escrito como

(1) $\begin{equation*} {\bf r}_{C_1}=\frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} + \frac{1}{2}L cos (\theta_1) {\bf j} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} {\bf v}_{C_1}= \frac{d{\bf r}_{C_1}}{dt} = {{\bf \dot{r}}_{C_1}} = \frac{1}{2}L \dot{\theta_1} cos (\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2} \dot{\theta_1} sen(\theta_1) {\bf j} \end{equation*}$

O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de $C_2$ do elo 2 pode ser escrito como

(3) $\begin{equation*} {\bf r}_{C_2}=\left[L sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L sen (\theta_2)\right]{\bf i} + \left[L cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L cos (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} {\bf v}_{C_2}=\frac{d{\bf r}_{C_2}}{dt} = \left[L \dot{\theta_1} cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} cos (\theta_2)\right]{\bf i} - \left[L \dot{\theta_1}sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} sen (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}$

As energias cinéticas da ligações 1 e 2 são

(5) $\begin{equation*} K_1 = \frac{1}{2}I_{O}\dot{\theta_1}^2 = \frac{1}{2} \frac{m_{1} L^2}{3}\dot{\theta_1}^2 = \frac{mL^2}{6}\dot{\theta_1}^2 \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2}I_{C_2}\dot{\theta_2}^2 = \frac{1}{2} m_2 {\bf v}_{C_2} \cdot {\bf v}_{C_2} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2} \frac{mL^2}{12}\dot{\theta_2}^2 + \frac{1}{2}m \left[L^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{4}L^2\dot{\theta_2}^2 + L^2\dot{\theta_1} \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)\right] \end{equation*}$

onde $I_O$ é o momento de inércia em torno do centro de rotação de O, e $I_{C_2}$ é o momento de inércia em torno do centro de massa ${C_2}$

A energia cinética total do sistema é

(8) $\begin{equation*} K = K_1 + K_2 = \frac{mL^2}{6}[4 \dot{\theta_1}^2 + 3 \dot{\theta_1}\dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) + \dot{\theta_2}^2] \end{equation*}$

O lado esquerdo da equação de Lagrange é

(9) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{6}[8 \dot{\theta_1} + 3 \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)] \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) = \frac{mL^2}{6}[8 \ddot{\theta_1} + 3 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_2}(\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) ] \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} (\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = \frac{mL^2}{6}[3 \dot{\theta_1} cos(\theta_2 - \theta_1) + 2 \dot{\theta_1}] \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) = \frac{mL^2}{6}[3 \ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_1} (\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) +2 \ddot{\theta_2}] \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = -\frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}$

As forças gravitacionais sobre as ligações 1 e 2 no centros de massa $C_1$ e $C_2$ são

(15) $\begin{equation*} {\bf G}_1 = m_1 g {\bf j} \;\; e \;\; {\bf G}_1 = m_2 g {\bf j} \end{equation*}$

Existem duas forças generalizadas associadas a ${\theta_1}$ e ${\theta_2}$ são

(16) $\begin{eqnarray*} F_1 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_1} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_1}\\ &=& mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} \right]+ \;\;\;\;\;\;\;\;\ \\ &+& mg {\bf j} \cdot [L cos(\theta_1) {\bf i} - L sen (\theta_1) {\bf i}]\\ &=& -\frac{3}{2}mg L sen(\theta_1) \end{eqnarray*}$

(17) $\begin{eqnarray*} F_2 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_2} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_2}\\ &=& mg {\bf j}\cdot 0 + mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_2) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_2) {\bf i} \right]\\ &=& -\frac{1}{2}mg L sen(\theta_2) \end{eqnarray*}$

As equações de Lagrange são escritas como

(18) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_1}} = F_1 \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_2}} = F_2 \end{equation*}$

e as equações de movimento pode ser escrita como

(20) $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}mL^2\ddot{\theta_1}+ \frac{1}{2}L^2 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{3}{2}mg L sen \dot{\theta_1}=0\\ \frac{1}{2}mL^2\ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) + \frac{1}{3}L^2 \ddot{\theta_2} + \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_1}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{1}{2}mg L sen \dot{\theta_2}=0 \end{eqnarray*}$

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